文档介绍：参加《线性代数》课程培训的心得体会
祖建 西南石油大学理学院
尊敬的李老师 , 您好 !
我是西南石油大学理学院的一名老师， 教了《线性代数》这门课程两遍 . 有幸参加了
这次全国高校. 单位矩阵 E 是可逆矩阵，其逆矩阵为自身；零矩阵不是可逆矩阵 .
[说明 ]（ 1 ）、可逆矩阵与其逆矩阵都是方阵，并且它们的阶数一样；
2 ）、可逆矩阵与其逆矩阵可交换；
3 ）、只有方阵才有逆矩阵 .
[问题 1] 如何求 引例 1 （ 2）中的矩阵 A 的逆矩阵？
a b
[方法 ]由逆矩阵的定义，设 B ，由 AB BA E ，则可求出矩阵 B . 即，采用 待定元素
c d
的方法 .
例 1
设方阵 A 满足 A4
A3
2A
E
0，证明 A可逆.
证明
因为 A( A3
A2
2E)
( A3
A2
2E)A E，所以 A可逆.
、可逆矩阵的性质
（以下均设 A 是 n 阶方阵）
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a)
若 A可逆，则 A的逆矩阵 唯一，记为 A 1 ，且 A 1也可逆， (A
1 ) 1
A， A1
1
A .
b)
若 A 可逆，数 k
0 ，则 kA可逆，且 (kA) 1
k 1 A 1
.
c)
设 A 和 B 都是 n 阶可逆矩阵，则
AB 也是可逆矩阵，且
(AB) 1
B1A1.
一般地，若同阶矩阵
A1 , A2 , , As 都可逆，则 A1 A2
As 也可逆，且
(A1 A2
As ) 1
As
1 As 1
1
A1
1 .
d)
若 A 可逆 ,则 Ak 也可逆，且 ( Ak ) 1
( A 1 )k .
e)
若 A可逆,则 AT 也可逆，且 (AT)
1
(A 1)T .
证明
a)
设 B、C都是 A的逆矩阵，则B
BE B(AC) (BA)C C ；由 AA 1
E 知 ，
A A 1
AA 1
E 1，A 0,A1
1
A .
b)
事实上， (kA)(k 1 A 1 )
( k 1 A 1)(kA)
(kk 1 )( AA 1)
E .
c)
事实上， (AB)(B 1A 1)
A（ BB
1）A 1
AEA 1
AA 1
E，(B 1A 1)( AB) E.
d)
事实上， Ak ( A 1 )k
AA
A A1A1
A 1
E； ( A 1 )k
Ak
E.
事实上，因为，
AA 1
A 1 A
E, 所以，(AA 1)T
( A 1A)T
E,即，(A 1)T AT
AT (A 1)T
E .
[说明 ]（ 1