高中数学奥赛辅导教材第一讲.docx

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第一讲 集合概念及集合上的运算
知识、方法、技能
高中一年级数学〔上〕 〔试验本〕课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件〔或
具有某种性质〕的对象集中在一起就成为一个集合 a
2
2 .
〔2〕当 1
a
2 时，设正八形边长为 l ，那么
l cos45
2
l ,l 2
2 2,
2
这时， a
1
l
2.
2
综上所述， a 的值为 2
2或 2,
如图Ⅰ－ 1－ 1－ 1 中 A(
2,0), B(2
2,0).
图Ⅰ－ 1－ 1－ 1
【评述】上述两题均为 1987 年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法 .
Ⅱ．集合之间的根本关系
充分应用集合之间的根本关系〔即子、交、并、补〕 ，往往能形成一些颇具技巧的集合综合题 .请看下述几例 .
例 4：设集合 A { n | n Z}, B { n | n Z}, C
{ n
1 | n Z}, D
{ n
1 | n
Z}, 那
2
2
3
6
么在以下关系中，成立的是
〔
〕
.
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A．A B C D B．A B ,C D
C．A B C,C D
D．
A
B
B, C
D
【思路分析】应注意数的特征，即n
1
2n 1
, n
1
2n
1 , n
Z .
2
2
3
6
6
【解法 1】∵ A
{ n | n
Z}, B { n | n
Z}, C
{ n
1 | n
Z}, D
{ n
1 | n Z},
2
2
3
6
∴ A
B
C,C
D .故应选 C.
【解法 2】如果把 A 、 B 、C、 D 与角的集合相对应，令
A
{ n
| n Z}, B
{ n | n Z }, C
{ n
| n
Z }, D { n
6
| n Z}.
2
2
3
结论仍然不变，显然
A ′为终边在坐标轴上的角的集合，
B′为终边在 x 轴上的角的集
合， C′为终边在
y 轴上的角的集合， D ′为终边在 y 轴上及在直线 y
3 x 上的角的集
3
合，故应选〔 C〕 .
【评述】解法 1 是直接法，解法 2 运用转化思想把的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角
的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解 .
例 5：设有集合 A
{ x | x 2
[ x]
2}和B
{ x || x |
2}, 求A
B和A
B 〔其中 [x]表示不
超过实数 x 之值的最大整数〕 .
【思路分析】应首先确定集合
A与B.
从而 1
x
,2
A.
∴ A
B
{ x |
2
x
2}.
假设
,则
2
[
]
2,[
]
{1,0,
1,
2},
x
A
B
x
x
x