文档介绍：关于典型混沌电路及其分析
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§1混沌电路综述
一、电路中混沌现象发现与研究的历史
电路中的混沌现象早在20世纪20年代就被发现，前面曾经提到的范德坡的工作就涉及到电路中的混讨论。
3、二阶微分电路—含有二个储能元件的电路
对于自治线性二阶微分电路，动态特性为衰减振荡或增幅振荡，不稳定。对于自治非线性二阶微分电路，电路可以产生极限环，属于稳定振荡电路。对于非自治非线性二阶微分电路，能够产生混沌，如杜芬方程电路，圆周映射也属于这种情况，并且导致符号动力学的研究。对于自治非线性二阶微分电路，不能够产生混沌。
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4、三阶微分电路—含有三个储能元件的电路
三阶非线性微分电路已经复杂化，能够产生混沌。例如蔡氏电路、洛伦茨方程电路等，这还是自治电路的情况。对于非自治电路，还能产生超混沌与亚超混沌。
5、三阶以上微分电路
运动特性更复杂,可能出现多级超混沌现象。将以上各种情况整理于下表。
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表4-1 电路方程的阶、自治与非自治、线性与非线性的形态
零阶自治电路
一阶自治电路
零阶非自治电路
二阶自治电路
一阶非自治电路
三阶自治电路
二阶非自治电路
三阶及三阶以上自治与非自治电路
线性
非线性
线性
非线性
线性
非线性
线性
非线性
线性
非线性
平衡点
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√
√
√
√
√
√
√
√
√
周期极限环
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√
√
√
√
√
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拟周期极限环
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√
混沌
√
√
亚超混沌
√
超混沌
√
噪声
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
由上表可以看出
1、若电路的阶数相同，则n阶非自治电路与n+1阶自治电路形态相同。
2、尽管非线性的n阶非自治电路及n+1阶自治电路与线性的n+1阶非自治电路及n+2阶自治电路有许多相似之处，但是线性电路永远不能产生混沌。
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三、混沌电路的定义
目前混沌电路的定义有多种形式，这里采用系统的初始激发已经衰减到零时的稳态响应的频率特性来定义。稳态响应的频率特性粗分有下列4种：
1、噪声响应：系统输出为噪声，连续频谱输出。
2、静态响应：在状态相空间，所有轨道趋于一个平衡点。
3、同频周期响应、非同频周期响应与准周期响应：系统输出与输入信号相同频率的周期波形，即ωo=ωi; 系统输出与输入信号正整数倍频率的周期波形，ωo=nωi，n为正整数; 系统输出与输入信号真分数倍频率的周期波形，即ωo=pωi,p为真分数; 系统输出与输入信号基频不可约分的周期分量波形。
4、混沌电路：与以上电路都不同的输出，定义如下：
一个由确定性运动方程所描述的确定性电路，由直流或确定性输入信号所激励，其输出波形中包含一段或多段连续频谱，那么称此电路为混沌电路。
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四、几种混沌电路之间的关系
1、混沌电路动态特性的共同点
任何混沌电路的相图都落在某一个奇异吸引子之中，前面几节 讨论的几个吸引子是在三维相空间中运动。相图具有以下几个特点：
（1）一个相图中的相轨线只有一根，无头无尾，（平衡点是不动点，应该认为是无穷时间，并且实际上绝对的不动点是不存在的。表示运动无休止，永不重复，永不相交。
（2）庞加莱截面图是分形图，有精细结构，无限复杂，具有自相似性。
（3）奇异吸引子有不稳定的平衡点、吸引盆、吸引域、分形面。其中我们感兴趣的是，经常是一个不稳定焦点，如洛斯勒吸引子; 两个不稳定焦点，如蔡氏电路、杜芬方程电路、洛伦茨方程电路的吸引子等; 少数是多个不稳定焦点。
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2、几个混沌电路的分组、比较与相互关系
（1）从线性LRC串联电路与LRC谐振电路演变而来的非线性电路。
线性LRC串联电路与线性LRC谐振电路满足的微分方程分别是
范德坡方程是
杜芬方程是
对照线性LRC串联电路与范德坡方程，范德坡方程是将线性LRC串联电路一阶导数的正系数2μ改为μ（x2-1）,使得当x>1时为衰减振荡，当x<1时为增幅振荡，从而产生极限环。范德坡方程的非线性项是从一阶导数的系数中引入的。
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对照线性LRC谐振电路与杜芬方程，实质是仅仅多了