文档介绍：关于函数的极值及其求法
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定义
使得
有
则称 为 的一个极大值点 (或极小值点 )
极大值点与极小值点统称为极值点 .
极大值与极小值统称为极值 .
1) 函数的极关于函数的极值及其求法
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定义
使得
有
则称 为 的一个极大值点 (或极小值点 )
极大值点与极小值点统称为极值点 .
极大值与极小值统称为极值 .
1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点(称为可疑极值点).
称 为 的一个极大值 (或极小值 )
注意
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函数极值的求法
定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理)
定义
注意:
例如,
设
在点
处具有导数, 且在
处取得极值,
则
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定理2 (第一充分条件)
(是极值点情形)
设
在点
处连续 ,
(1) 若
时,
而
时,
则
在点
处取得极大值;
(2) 若
时,
而
时,
则
在点
处取得极小值;
(3) 若
时,
的符号相同, 则
在点
处无极值.
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求极值的步骤:
(不是极值点情形)
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例1
解
列表讨论
极大值
极小值
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图形如下
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例2
解
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的极值 .
解
得驻点
不可导点
是极大值点，
其极大值为
是极小值点，
其极小值为
例3 求函数
不存在
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定理3(第二充分条件)
证
同理可证(2).
二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
设函数 f (x) 在点 x0 处 具有
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例4
解
图形如下
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注意:
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的极值 .
解:
令
得驻点
因
故 为极小值 ;
又
故需用极值的第一充分条件来判别.
例5. 求函数
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则
1) 当 为偶数时,
2) 当 为奇数时,
为极值点 , 且
不是极值点 ,
证
定理4
设 f (x) 在点 x0 处 具有n 阶导数，且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
点 为拐点 。
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故
1) 当 为偶数时,
由极限的保号性,知
又
得
故 在点 取极大值 。
则 在点 取极小值 .
同理可证，
2) 当 为奇数时,
可证 在 点邻近两
侧异号,
故 在点 不取极值 。
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故
当 为奇数时,
可证 在 点邻近两侧异号,
故点 为拐点 。
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设
其中a 为常数 .
证明:
时, f (0) 为 f (x)的极小值 ;
时, f (0) 为 f (x)的极大值 .
证
时,
f (0) 为 f (x)的极小值 ;
时,
f (0) 为 f (x)的极大值 ;
时,
例6
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f (0) 为 f (x)的极大值.
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函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数
的定义域 ,
期性 ;
2. 求
并求出
及
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
为 0 和不存在
的点 ;
并考察其对称性及周
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例7
解
非奇非偶函数,且无对称性.
定义域（-∞，+ ∞ ）\{0},
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列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
不存在
拐点
极值点
间断点
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作图