文档介绍：第六讲判别分析
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分类
俗语说，物以类聚、人以群分。
但什么是分类的根据呢？
比如，要想把中国的县分成若干类，就有很多种分类法；
可以按照自然条件来分，
比如考虑降水、土地、日照、湿度等各方面；
也可以组变量的协方差阵相等
各判别变量之间具有多元正态分布
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第二节 距离判别
（一）马氏距离
距离判别的最直观的想法是计算样品到第i类总体的平均数的距离，哪个距离最小就将它判归哪个总体，所以，我们首先考虑的是是否能够构造一个恰当的距离函数，通过样本与某类别之间距离的大小，判别其所属类别。
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设 是从期望μ= 和方差阵Σ=
的总体G抽得的两个观测值，则
样本X和Gi类之间的马氏距离定义为X与Gi类重心间的距离：
X与Y之间的Mahalanobis距离
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马氏距离和欧式距离之间的差别
马氏距离
欧氏距离
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马氏距离有如下的特点：
2、马氏距离是标准化后的变量的欧式距离
1、马氏距离不受计量单位的影响;
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3、若变量之间是相互无关的，则协方差矩阵为对角矩阵
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此时的马氏距离为
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（二）两个总体距离判别法
先考虑两个总体的情况，设有两个协差阵相同的p维正态总体，对给定的样本X，判别一个样本X到底是来自哪一个总体，一个最直观的想法是计算X到两个总体的距离。故我们用马氏距离来给定判别规则，有：
1、方差相等
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考虑 和 的差，就有：
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则前面的判别法则表示为
当 和已知时， 是一个已知的p维向量，W（x）是x的线性函数，称为线性判别函数。称为判别系数。用线性判别函数进行判别分析非常直观，使用起来最方便，在实际中的应用也最广泛。
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例 在企业的考核中，可以根据企业的生产经营情况把企业分为优秀企业和一般企业。考核企业经营状况的指标有：
资金利润率=利润总额/资金占用总额
劳动生产率=总产值/职工平均人数
产品净值率=净产值/总产值
三个指标的均值向量和协方差矩阵如下。现有二个企业，观测值分别为
（，，）和（，，），问这两个企业应该属于哪一类？
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变量
均值向量
协方差矩阵
优秀
一般
资金利润率
劳动生产率
产品净值率
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线性判别函数：
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2、当总体的协方差已知，且不相等
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随着计算机计算能力的增强和计算机的普及，距离判别法的判别函数也在逐步改进，一种等价的距离判别为：
设有个K总体，分别有均值向量μi(i=1,2,…,k)和协方差阵Σi= Σ，各总体出现的先验概率相等。又设Y是一个待判样品。则与总体i的距离为（即判别函数）
(三) 多总体的距离判别法
上式中的第一项x’ Σ-1x与i无关，则舍去，得一个等价的函数
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将上式中提-2，得
则距离判别法的判别函数为：
注：这与前面所提出的距离判别是等价的.
判别规则为
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（四）对判别效果做出检验
1、错判概率
由上面的分析可以看出，马氏距离判别法是合理的，但是这并不意味着不会发生误判。
两总体分别服从
其判别函数为
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显然，只有两个总体的均值有显著差异时，判别分析才有实际意义
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2、 交叉核实
交叉核实法