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Matlab实现数值分析插值及积1
二．牛顿插值法
newton插值多项式的表达式如下：
其中每一项的系数ci的表达式如下：
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即为f (x)在点处的i阶差商，（，），由差商的性质可知：
matlab编程：
编程思想：主要从上述牛顿插值公式入手：依靠循环，运用poly（）函数和conv（）函数表示拉格朗日公式，其中的poly（i）函数表示以i作为根的多项式的系数，例如poly（1）表示x-1的系数，输出为1 -1，而poly（poly（1））表示（x-1）*（x-1）=x^2-2*x+1的系数，输出为1 -2 1；而conv（）表示多项式系数乘积的结果，例如conv（poly（1），poly（1））输出为1 -2 1；所以程序最后结果为x^n+x^n-1+……+x^2+x+1（n的值据结果的长度为准）的对应系数。
在命令窗口输入edit ，文件中的程序如下：
function [c,d]=newpoly(x,y)
n=length(x);
d=zeros(n,n);
d(:,1)=y';
for j=2:n
for k=j:n
d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));
end
end
c=d(n,n);
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for k=(n-1):-1:1
c=conv(c,poly(x(k)));
m=length(c);
c(m)=c(m)+d(k,k);
end
输入：>> x=[0 1 2 3 4];
>> y=[1 2 17 82 257];
>> newpoly(x,y)
运行结果为
ans =
1 0 0 0 1
所以=+。
如图表2：
图表 2
三．埃特金插值法：
Aitken插值公式如下：
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递推表达式为：
= +
当n=1时，
= +
当n=2时，
= +
其中的带入递推表达式求得。
由此递推下去，最终得到的结果。
matlab编程：
编程思想：埃特金插值多项式又称作Aitken逐次线性插值多项式， 根据公式的特点，可以利用2次嵌套循环将公式表示出来。
在命令窗口输入edit Aitken ，文件中的程序如下：
function f = Aitken(x,y)
syms z;
n = length(x);
y1(1:n) = z;
for i=1:n-1
for j=i+1:n
y1(j) = y(j)*(z-x(i))/(x(j)-x(i))+y(i)*(z-x(j))/(x(i)-x(j));
end
y = y1;
simplify(y1);
end
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simplify(y1(n));
f = collect(y1(n));
输入：>> x=[0 1 2 3 4];
>> y=[1 2 17 82 257];
>> Aitken(x,y)
运行结果为
ans =
z^4 + 1
所以=+。
如图表3：
图表 3
问题二：复化积分
对于问题二来说，