文档介绍：研究生入学考试重点考点
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(1)
由曲面面积公式，其中是曲面的法线方向与轴正向的交角，，所以是锐角 .又由是光滑的，，在内必存在一点，使这点的法线方向与轴正向的夹角满足等式或.
于是. 个部分相加后得
(2)
现在以表示曲面在点的法线方向与轴正向夹角的余弦，则由的连续性，可推得当时，
(3)
这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，，所以右边积分也相应改变了符号.
同理可证：

(4)

（5）
研究生入学考试重点考点
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3 介绍第二型曲面积分的多种计算方法
在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点问题，学生在学****过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及其投影区域，又要注意到曲面的侧；另一方面,，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用公式求解，利用积分区间对称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.
直接利用定义法进行计算
若在光滑有向曲面上连续,则存在,且有计算公式:
其中表示在面上的投影区域，当曲面取上侧时公式的右端取“”号，取下侧时取“”，计算曲面积分时，只要把其中变量换为表示∑的函数，然后在的投影区域上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.
类似地，如果曲面的方程，则

如果曲面∑的方程为,则

例1 计算积分：
研究生入学考试重点考点
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其中是球面在第一、八卦限的部分，取球面外侧. (如图)
解设,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为:
∶ = ∶ =—
它们在面上的投影区域都是单位圆在第一象限的部分.
∴ +