文档介绍：二次函数的图像与性质
一、二次函数的基本形式
二次函数基本形式：y = ax2的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0,0)
y轴
x>0时，’随x的增大而增大；x<0时，y随 x的增 h , * 为常数，i 壬 0）；
两根式：y = a{x-xi）{x-x2）（。壬0,历，互是抛物线与工轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写 成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即4以20时，抛物线的解析式才可以用交 .
七、 二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次项系数"
二次函数y = ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然"0.
（1） 当。>0时，抛物线开口向上，。的值越大，开口越小，反之。的值越小，开口越大;
（2） 当。<0时，抛物线开口向下，。的值越小，开口越小，反之。的值越大，开口越大.
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，同的大小决
定开口的大小.
一次项系数力
在二次项系数。确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.
（1）在。>0的前提下，
h
当》>0时，——<0 ,即抛物线的对称轴在y轴左侧；
2a
h
当》=0时，一一 =0 ,即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
h
当》<0时，-一>0 ,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
⑵在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当力>0时，-~^>0,即抛物线的对称轴在Y轴右侧；
2a '
当》=0时，=0 ,即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
h
当公o时，—L<o ,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
总结起来，在。确定的前提下，方决定了抛物线对称轴的位置.
b
沥的符号的判定：对称轴x = ——在y轴左边则油>0,在y轴的右侧则ab<0, la
概括的说就是“左同右异”
总结：
常数项c
（1） 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
（2） 当c = 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ；
（3） 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之，只要“，饥c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式， 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，，有如下几种情 况：
已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
八、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
关于X轴对称
y = ax2 +bx + c关于％轴对称后，得到的解析式是y = -ax2-bx-c :
y = a（^x-hf -^-k关于x轴对称后，得到的解析式是y = -a^x-h^-k；
关于y轴对称
y = ax2 +bx + c关于y轴对称后，得到的解析式是y = ax2-bx + c；
y = a^x-h^ +k关于y轴对称后，得到的解析式是y = a{x+lif -\-k ；
关于原点对称
y = cuc2 +bx + c关于原点对称后，得到的解析式是y = -ax1 +bx-c ；
y = a^x-hf -\-k关于原点对称后，得到的解析式是y = -tz(x+/z)2-k ；
关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180° )
h2
y = ax2 +bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y = -ax2-bx+c ；
2a
y = a^x-Pif -\-k关于顶点对称后，得到的解析式是y = -a^x-lif -\-k .
关于点(m, 〃)对称
y = a^x-lif +k关于点(m, n)对称后，得到的解析式是y = -a(^x+h-2mf -^-2n-k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|。| ，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适 的形式****惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.
二次函数图像参考：
【例题精讲】
一、一元二次函数的图象的画法