文档介绍：因子分析与主成分分析
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主成分分析
每个人都会遇到有很多变量的数据。
比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。
这些数据的共同特点是变量很多，在如此多方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。
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主成分分析
当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。
但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。
如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。
椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。
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主成分分析
对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。
首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。
注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分(principal component)。
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主成分分析
正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。
选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。
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对于我们的数据，SPSS输出为
这里的Initial Eigenvalues就是这里的六个主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特征值）。%。后面的特征值的贡献越来越少。
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特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出
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怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？SPSS可以输出下面的表。
这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数（比例）。比如第一主成分作为数学、物理、化学、语文、历史、英语这六个原先变量的线性组合，系数（比例）为-, -, -, , , 。
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如用x1,x2,x3,x4,x5,x6分别表示原先的六个变量，而用y1,y2,y3,y4,y5,y6表示新的主成分，那么，原先六个变量x1,x2,x3,x4,x5,x6与第一和第二主成分y1,y2的关系为：
X1=- +
X2=- +
X3=- +
X4= +
x5= +
x6= +
这些系数称为主成分载荷（loading），它表示主成分和相应的原先变量的相关系数。
比如x1表示式中y1的系数为-，这就是说第一主成分和数学变量的相关系数为-。
相关系数(绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。可以看得出，第一主成分对各个变量解释得都很充分。而最后的几个主成分和原先的变量就不那么相关了。
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可以把第一和第二主成分的载荷点出一个二维图以直观地显示它们如何解释原来的变量的。这个图叫做载荷图。
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该图左面三个点是数学、物理、化学三科，右边三个点是语文、历史、外语三科。图中的六个点由于比较挤，不易分清，但只要认识到这些点的坐标是前面的第一二主成分载荷，坐标是前面表中第一二列中的数目，还是可以识别的。
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因子分析
主成分分析从原理上是寻找椭球的所有主轴。因此，原先有几个变量，就有几个主成分。
而因子分析是事先确定要找几个成分，这里叫因子（factor）（比如两个），那就找两个。
这使得在数学模型上，因子分析和主成分分析有不少区别。而且因子分析的计算也复杂得多。根据因子分析模型的特点，它还多一道工序：因子旋转（factor rotation）；这个步骤可以使结果更好。
当然，对于计算机来说，因子分析并不比主成分分析多费多少时间。
从输出的结果来看，因子分析也有因子载荷（factor loading）的概念，代表了因子和原先变量的相关系数。但是在输