文档介绍：曲面及其方程
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定义1.
如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
维空间
柱面,
柱面,
平行于 x 轴;
平行于 y 轴;
平行于 z 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
母线
柱面,
准线 xoy 面上的曲线 l1.
母线
准线 yoz 面上的曲线 l2.
母线
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定义3. 一条平面曲线
三、旋转面
绕其平面上一条定直线旋转
一周
所形成的曲面叫做旋转面.
该定直线称为旋转
轴，曲线成为旋转面的母线
例如 :
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
故旋转曲面方程为
当绕 z 轴旋转时,
若点
给定 yoz 面上曲线 C:
则有
则有
该点转到
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程.
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
两边平方
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
所成曲面方程为
所成曲面方程为
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总结
(1) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为
(2) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为
(3) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为
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四、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线,
其一般方程为方程组
例如,方程组
表示圆柱面与平面的交线 C.
C
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又如,方程组
表示上半球面与圆柱面的交线C.
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空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
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例如,
在xoy 面上的投影曲线方程为
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又如,
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:
上半球面
和锥面
在 xoy 面上的投影曲线
二者交线
所围圆域:
二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
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二次曲面
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二次曲面
三元二次方程
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
的图形通常为二次曲面.
(二次项系数不全为 0 )
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1. 椭球面
(1)范围：
(2)与坐标面的交线：椭圆
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与
的交线为椭圆：
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面;
同样
的截痕
及
也为椭圆.
当a＝b＝c 时为球面.
(3) 截痕:
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