文档介绍：例 2021 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、C(3, 0)两点，与 y 轴交于点 B，点 P 为 OB 上一点，过点 B 作射线 AP 的例 2021 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、C(3, 0)两点，与 y 轴交于点 B，点 P 为 OB 上一点，过点 B 作射线 AP 的垂线，垂足为点 D，射线 BD 交 x 轴于点 E．
（1）求该抛物线的解析式；
(0, )
（2）联结 BC，当点 P 的坐标为 2
3
时，求△EBC 的面积；
（3）当点 D 落在抛物线的对称轴上时，求点 P 的坐标．
动感体验
图 1 备用图
请打开几何画板文件名“15 奉贤 24”，拖动点 P 在 OB 上运动，可以体验到，点 D 有两次机会可以落在抛物线的对称轴上．
思路点拨
1．第（1）题可以直接写出抛物线的交点式．
2．把图形中相等的锐角都标记出来，方便寻找比例线段．
3．当点 D 落在抛物线的对称轴上时，点 P 是 AD 的中点．
满分解答
（1）因为抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、C(3, 0)两点，所以
y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如图 2，由于∠1 与∠3 互余，∠2 与∠4 互余，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2．
(0, )
所以 tan∠1＝tan∠2．所以 OP = OE ．当 P 2 时， 2 = OE ．
OA OB
此时 OE＝2．所以 EC＝1．
所以 S△EBC＝ 1 EC × OB ＝ 1 ´1´ 3＝ 3 ．
3 3 3
2 2 2
（3）如图 3，由 y＝－x2＋2x＋3，可知抛物线的对称轴是直线 x＝1．
作 BM⊥y 轴交抛物线的对称轴于 M，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 N． 当点 D 落在抛物线的对称轴上时，由 AO＝ON＝1，可知 DN＝2PO．
设 P(0, m)，那么 D(1, 2m)．
由△BMD∽△DNA，得 BM = DN ．所以 1
= 2m ．解得 m＝1，或 m＝ 1 ．
MD NA
3 - 2m 2 2
(0, )
所以