复变函数解析函数.ppt

文档介绍：复变函数解析函数
第一页，讲稿共五十九页哦
1. 复变函数的导数定义
§ 解析函数的概念
GO
2. 解析函数的概念
第二页，讲稿共五十九页哦
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，
则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
上述条件满足时,有
第二十一页，讲稿共五十九页哦
证明
（由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证
f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。
∵函数 w =f (z)点 z可导，即
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
第二十二页，讲稿共五十九页哦
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)
=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)
+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)
令：f (z+Δz) - f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib，
(Δz)=1+i2 故（1）式可写为
因此 Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy ,
Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy
所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.
第二十三页，讲稿共五十九页哦
（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
第二十四页，讲稿共五十九页哦
第二十五页，讲稿共五十九页哦
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Riemann方程
,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.
利用该定理可以判断哪些函数是不可导的.
第二十六页，讲稿共五十九页哦
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
ii) 验证C-R条件.
iii) 求导数：
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
第二十七页，讲稿共五十九页哦
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
第二十八页，讲稿共五十九页哦
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
第二十九页，讲稿共五十九页哦
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
第三十页，讲稿共五十九页哦
例2 求证函数
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，
且满足C-R条件：
故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为
第三十一页，讲稿共五十九页哦
例3
证明
第三十二页，讲稿共五十九页哦
例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，
且 确定
第三十三页，讲稿共五十九页哦
练****br/>a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2
第三十四页，讲稿共五十九页哦
§
3. 对数函数
1. 指数函数
2. 三角函数和双曲函数
4. 幂函数
5. 反三角函数
第三十五页，讲稿共五十九页哦
一. 指数函数
它与实变指数函数有类似的性质：
定义
第三十六页，讲稿共五十九页哦
第三十七页，讲稿共五十九页哦
这个性质是实变指数函数所没有的。
第三十八页，讲稿共五十九页哦
例1
例2
例3
第三十九页，讲稿共五十九页哦
二. 三角函数和双曲函数
推广到复变