文档介绍：等差数列及其性质
复习回顾:
:按照一定顺序排成的一列数
简记作:{an}
:如果数列{an}中第n项an与n之间的
关系可以用一个式子来表示,那么这
(n-1)d
变形
a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=d
a1 、an、n、d知三求一
通项公式的推导
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.
解：(1)由题意得：
a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
分析（2）要想判断 -401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。
(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.
（2）由题意得：
a1=2,d=9-2=16-9=7
∴这个数列的通项公式是：
an=2+ (n-1) × 7
=7n-5(n≥1)
令100=7n-5,得 n=15
∴100是这个数列的第15项。
练习
在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：
解：由题意得：
∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。
例2
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
∴这个数列的首项是1，公差是3。
解：依题意得：
解之得：
练习
解法一: 依题意得：
a1+2d=9 解之得 a1 =11
a1+8d=3 d =-1
∴这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n
故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.
解法二：
练习
分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am ,d 看成是常数.
解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
am=a1+(m-1)d ①
an=a1+(n-1)d ②
②- ①得：an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d
变形
思考
练习
在等差数列 中,
求
{an}
解：
解：
在等差数列 中,
求
{an}
练习
小结
1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).
或an+1－an ＝d (n≥1).
2. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
推导出公式：an＝am＋(n－m)d .
或an＝pn＋q (p、q是常数)
知三求一
3. 有几种方法可以计算公差d:
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差
数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C.