文档介绍：“新定义〞型中考试题例析
- 2 -
“新定义〞型中考试题例析
绍兴市文理附中 冯梅
纵观近几年全国各地中考数学试题，“新定义〞型试题已越来越受到各地命题者的青睐。在近几年的绍兴中考数学试卷中，每年都有一
图1
图2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
解答以下问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
〔1〕求抛物线和直线AB的解析式；
〔2〕点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
〔3〕是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由.
解：〔1〕设抛物线的解析式为：
把A〔3,0〕代入解析式求得
- 4 -
所以
设直线AB的解析式为：
由求得B点的坐标为
把，代入中
解得：，所以
〔2〕因为C点坐标为(１,4)
所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2，所以CD＝4-2＝2
〔平方单位〕
〔3〕假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
那么
由S△PAB=S△CAB，得：
化简得：，解得，
将代入中，解得P点坐标为
点评：此题给出了一个直角坐标系中求一般三角形的面积计算公式，并要求现学现用，总体来说此题难度不大．
7．定义一个图形
“点〞
例7〔2022绍兴〕联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，假设PA=PB，那么点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．
探究：△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
- 5 -
应用：解：①假设PB=PC，连接PB，那么∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，
与PD=AB矛盾，∴PB≠PC，
②假设PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③假设PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC=，
①假设PB=PC，设PA=x，那么，∴，即PA=，
②假设PA=PC，那么PA=2，
③假设PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或．
点评：这是一道新概念试题，解答此题的关键是理解新概念的含义，然后结合有关图形性质分情况进行计算验证．
“线〞
例8〔2022甘肃兰州〕如图，定义：假设双曲线y＝(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，那么线段AB的长度为双曲线y＝(k＞0)的对径．
〔1〕求双曲线y＝的对径；
〔2〕假设双曲线y＝(k＞0)的对径是10，求k的值；
〔3〕仿照上述定义，定义双曲线y＝(k＜0)的对径．
解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，
- 6 -
(1)解方程组，得，
∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，
∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝，
∴AB＝2OA＝，∴双曲线y＝的对径是；
(2)∵双曲线的对径为，即AB＝，OA＝，
∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∴点A坐标为(5，5)，
把A(5，5)代入双曲线y＝ (k＞0)得k＝5×5＝25，
即k的值为25；
(3)假设双曲线y＝(k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，
那么线段AB的长称为双曲线y＝(k＞0)的对径．
点评：此题考查了反比例函数综合题，题中的对径即为线段AB的长度；点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍；强化理解能力．
“角〞
例9〔2022江苏南京〕如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点〔P不与A，B重合〕，我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．
〔1〕∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．
①假设AB是⊙O的直径，那么∠APB= ；
②假设⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数.
〔2〕O2是⊙O1外一点，以O2为圆心做一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N〔点M与点A、点N与点B均不重合〕，连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．