文档介绍：工业机器人运动学
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§ 工业机器人位姿描述
第2章工业机器人运动学
1. 点的位置描述
图2-1　点的位置描述
其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。
(
a
n
Q
O’
解：因为物体Q形心与手部坐标系O’X’Y’Z’的坐标原点O’相重合，所以手部位置的（4×1）列阵为P=[1 1 1 1]T
手部坐标系X’轴的方向可用单位矢量n来表示：
n： α=90°，β=180°，γ=90°
nx=cosα=0; ny=cosα=-1; nz=cosα=0
同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位矢量o和α 来表示。
手部位姿可用矩阵表达为：
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第2章工业机器人运动学
图 2-5 目标物的位置和姿态描述
7. 目标物位姿的描述
　　任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表示, 如图2-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点描述, 矩阵表达式为
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第2章工业机器人运动学
()
若让其绕Z轴旋转90°,记为Rot(z,90°); 再绕Y轴旋转90°,即Rot(y,90°), 然后再沿X轴方向平移4,即Trans(4, 0, 0), 则楔块成为(b)图位姿, 其齐次矩阵表达式为
用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程, 也便于矩阵的运算, 所以应该熟练掌握。
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第2章工业机器人运动学
§ 齐次变换及运算
一. 平移的齐次变换
图2-6　点的平移变换
如图2-6所示为空间某一点在直角坐标系中的平移,由A(x, y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即
或写成：
()
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第2章工业机器人运动学
a′=Trans(Δx, Δy, Δz)a
记为:
其中,Trans(Δx, Δy,Δz)称为平移算子,Δx、Δy、Δz分别表示沿X、Y、Z轴的移动量。即:
()
()
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第2章工业机器人运动学
注:
① 算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。
② 算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。
③ 该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换, 如机器人手部的平移变换。
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第2章工业机器人运动学
例3：有下面两种情况（如图2-7），动坐标系{A}相对于定坐标系的X0、Y0、Z0轴作（-1，2，2）平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系（即动系）的X、Y、Z轴分别作（-1，2，2）平移后到{A”}。已知：
试写出坐标系{A’}、{A”}的矩阵表达式。
图2-7 坐标系的平移变换
Z0
Y’
Y0
X0
X’
Z’
X”
Y”
Z”
{A}
{A”}
{A’}
Y
X
Z
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第2章工业机器人运动学
解：动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为
{A’}坐标系是动系{A}沿固定坐标系作平移变换得来的，因此算子左乘，{A’}的矩阵表达式为
2
2
-1
2
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第2章工业机器人运动学
{A”}坐标系是动系{A}沿自身坐标系作平移变换得来的，因此算子右乘，{A”}的矩阵表达式为
经过平移坐标变换后，坐标{A’}、{A”}的实际情况已图解在图2-7中。
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二. 旋转的齐次变换
点在空间直角坐标系中的旋转如图2-8所示。A(x, y, z)绕Z轴旋转θ角后至A′( x′, y′, z′ ),A与A′之间的关系为
图2-8　点的旋转变换
()
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第2章工业机器人运动学
写成矩阵形式为
()
记为:
a′=Rot(z, θ)a
其中, 绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系, 即
()
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第2章工业机器人运动学
同理,
()
()
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第2章工业机器人运动学
图2-9所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况。kx、ky、kz分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三个分量,且k2x+k2y+k2z=1。可以证明, 其旋转齐次变换矩阵为
图 2-9 点的一般旋转变换
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第2章工业机器人运动学
()
注:
① 该式为一