文档介绍：学必求其心得，业必贵于专精
1．绝对值三角不等式
绝对值三角不等式
(1 ）定理 1：如果 a，b 是实数，则 | a＋ b| ≤｜ a| ＋｜ b｜，当且仅当 ab≥0时，等号成
式的应用
求函数 y＝｜ x－ 3｜－｜ x＋1| 的最大值和最小值．
设 a∈ R，函数 f ( x）＝ ax2＋ x－ a（－ 1≤ x≤1) ．若 | a｜≤ 1，求 | f ( x) ｜的最大值．
利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．
1) 法一：｜｜ x－ 3｜－｜ x＋1|| ≤｜（ x－ 3) －（ x＋ 1)| ＝4，∴－ 4≤｜ x－ 3| －｜ x＋1| ≤4.
ymax＝ 4， ymin ＝－ 4.
法二：把函数看作分段函数．
y＝ | x－ 3| －｜ x＋ 1| ＝错误 !
∴－ 4≤ y≤4.
ymax＝ 4， ymin ＝－ 4.
∵ | x｜≤ 1， | a｜≤ 1，
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学必求其心得，业必贵于专精
∴｜ f ( x） | ＝ | a( x2－ 1）＋ x| ≤|a（x2 －1) ｜＋ | x|
＝｜ a| ｜ x2－ 1｜＋ | x| ≤｜ x2－1｜＋｜ x｜
＝ 1－｜ x2｜＋｜ x| ＝－ | x| 2＋ | x| ＋ 1
＝－错误!2＋错误!≤错误!。
∴｜ x| ＝错误 ! 时，｜ f ( x) ｜取得最大值 错误 ! 。
(1 ）利用绝对值不等式求函数最值， 要注意利用绝对值的性质进行转化， 构造绝对值不
等式的形式．
求最值时要注意等号成立的条件 , 它也是解题的关键．
3．（江西高考） x，y∈R, 若 | x| ＋｜ y｜＋ | x－ 1｜＋ | y－ 1｜≤ 2，则 x＋y 的取值范围为
________．
解析： | x| ＋｜ x－1| ≥|x－ ( x－ 1) ｜＝ 1， | y｜＋｜ y－1| ≥|y－ ( y－ 1）| ＝ 1，
所以｜ x｜＋ | y| ＋ | x－ 1｜＋｜ y－1｜≥ 2，
当且仅当
x
∈，
y
∈时，｜
x
|＋｜ |＋|
x
－1|＋｜
y
－1| 取得最小值
2，
y
而已知｜ x｜＋｜ y| ＋｜ x－ 1| ＋ | y－1｜≤ 2，
所以｜ x| ＋｜ y｜＋ | x－ 1| ＋｜ y－1| ＝ 2，
此时 x∈， y∈，所以 x＋y∈．
答案：
4．求函数 f （ x）＝｜ x－1| ＋｜ x＋ 1｜的最小值．
解：∵｜ x－ 1｜＋｜ x＋ 1｜＝｜ 1－ x| ＋｜ x＋ 1｜≥｜ 1－ x＋ x＋ 1| ＝ 2，当且仅当（ 1
x) （ 1＋ x) ≥0，
即－ 1≤ x≤1时取等号．∴当－ 1≤ x≤1时，函数 f （ x）＝｜ x－ 1| ＋ | x＋ 1｜取得最小
值 2.
5．若对任意实数，不等式｜ x＋ 1｜－ | x－2｜〉 a 恒成立，求 a 的取值范围．