文档介绍：.
第二类曲面积分的计算方法
赵海林张纬纬
摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，
积
分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.
关键词第二类曲面积分xRidxdy，
Si1i1i1i1S
其中c(i1,2,,k)是常数.
性质3(曲面可加性)若曲面S是由两两无公共内点的曲面块S,S2,…，Sk所组成,且
P(x,y,z)dxdzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy(i1,2,k)
Si存在,则有
P(x,y,z)dxdzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdyS
k
P(x,y,z)dxdzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)
uv
设A(x,y,z){P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}
v
n{cos,cos,cos},则uvv
A(x,y,z)ndS(PcosQcosRcos)dS
其中dS是曲面S勺面积元素.
uvv
记dSndS{cosdS,cosdS,cosdS}{dydz,dzdx,dxdy},称dS为曲面
S的面积微元向量•则uvviv
AndSAdSPdydzQdzdxRdxdy,
从而uvv
AndSPdydzQdzdxRdxdySS•
即A(x,y,z)ndS
PdydzQdzdxRdxdydydz是dS在yoz面上的投影;
dzdx是dS在zox面上的投影；、
可负、，dxdy取符号.
特殊形式：
P(x,y,z)dydz称为P对坐标y,z的曲面积分;S
Q(x,y,z)dzdx称为Q对坐标乙x的曲面积分;S
R(x,y,z)dxdy称为R对坐标x,y的曲面积分S
，当曲面的侧确定之后，
为光滑曲面，并以上侧为正侧，R为S上的连续函数，

R(x,y,z)dxdy常。R(i,i,i)乱⑴Si1
1由曲面面积公式Sdxdy，其中是曲面Si的法线方向与z轴正向
Scosixy
的交角，，
是光滑的，，在S内必存在一点，使xyxy现在以C0Si表示曲面S在点（冷％,召）的法线方向与Z轴正向夹角的余弦，则由
这点的法线方向与
z轴正向的夹角
1
i满足等式S
cosi
S或
xy
SixycosiSi•
于是R(i,i,i)Sxy
R(
Hii
i)cosi
S•
n个部分相加后得
n
i
R(i
1
,i,i)'
Sixy
n
R(i,i,i)cosiSi
i1
(2)
cos的连续性，可推得当||T||0时，（2）（1）式得到Q（x,y,z）dzdxQ（x,y,z）cosdS⑶
SS
这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角改为•因而
cos也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号
同理可证:
P(x,y,z)dydzP(x,y,z)cosdSSS
Q(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)cosdSSS
其中，分别是S上的法线方向与x轴正向和与y轴正向的夹角•一般地有
P(x,y,z)dxdzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy
S
[P(x,y,z)cos
Q(x,y,z)cos
R(x,y,z)cos]dS
S
（5）
这样在确定余弦函数cos,cos
,cos之后，由
(3),(4),(5)式,
便建立了两种不同类型曲面积分的联系•3介绍第二型曲面积分的多种计算方法
在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、
也是一个难点问题，学生在学****过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及其投影区域，又要注意到曲面的侧；另一方面,，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用stokes公式求解，利用积分区间对
称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.
(x,y,z)在光滑有向曲面S:z
若R(x,y,z)在光滑有向曲面S:z
zx,