文档介绍：关于秩的一些定义、定理、命题一、向量组的秩定义:向量组{} 中存在 r 个线性无关的向量,且其中任一个向量可由这 r 个线性无关的向量线性表示,则数 r 称为向量组的秩。等价定义:若向量组中存在 r 个线性无关的向量,且任何 r+1 个向量都线性相关,则称数 r 为向量组的秩。关于向量组的秩的定理 1 、设秩{}=p ,秩{}=r ,若向量组可由向量组线性表示,则 r≤p 。(秩大可表示秩小) 2 、若两个向量组等价,则它们的秩相等。二、矩阵的秩关于矩阵的秩的基本结论: (1 ) 矩阵的秩= 矩阵的行秩= 矩阵的列秩= 矩阵的秩= 矩阵的非零子式的最高阶数; (2 ) 初等变换不改变矩阵的秩。关于矩阵的秩的定理、命题 1 、n 阶矩阵 A 的秩等于 n 的充要条件是|A| ≠0 。 2 、=0 有非零解的充要条件是 r (A ) <n ;只有零解的条件是 r (A ) =A 的列数, A 为n 阶方阵时?|A| ≠ 0; 3 、,r (A ) <n ,则 Ax=0 存在基础解系,且其含有 n-r (A )个解向量。解齐次方程组时,自由变量的个数为 n-r (A )个, 找出一个秩为 r (A )的矩阵,其余的 n-r (A )个列对应的就是自由变量,每次给一个自由变量赋值为 1 ,其余自由变量赋值为零,共需赋值 n-r (A )次。解非齐次方程组时,令全部自由未知量为零即可得到一个特解。 4 、设A 、B 均是 n 阶矩阵,且 r (A )+r (B ) <n ,则 A 、B 有公共的特征向量。推广:设 A 、B 均是 n 阶矩阵,则 A 、B 有公共特征向量的充要条件是存在λ,μ∈R ,使 5 、n 阶矩阵可相似对角化的充要条件是对于矩阵 A 的每一个重特征值,特征矩阵 E-A 的秩 r ( E-A ) =n ,即对矩阵 A 的每一个重特征值,其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值重数。 6 、关于秩的一些等式& 不等式(1 )r ( A+B )≤r (A )+r (B ); (2 ) r(AB) ≤ min{ r (A ) ,r (B ) }; (3 ) r(AB) ≥r (A )+r (B ) -n; r (A )+r (B )—n≤ r(AB) ≤ min{ r (A ) ,r (B )} ; (4 )若 AB=0 ,则 r (A )+r (B )? n ; (5 )若P 、Q 为n 阶可逆矩阵,则 r (A )=r ( PA )=r ( AQ )=r ( PAQ ); (6 ) r()= r (A );(7 )A 为n 阶矩阵,若 r (A ) =1 ,则 A= ; ,其中 k=tr(A) ; (8 )A 为n 阶矩阵, (i )若,则 r (A )+r ( A-E ) =n; ( ii )若,则 r ( A+E )+r ( A-E ) =n; 7 、设为 A 的伴随矩阵,则关于特征值与特征向量的一些定理、命题特征值与特征向量的性质: 1 、若都是 A 的属于特征值的特征向量,则也是 A 的属于特征值的特征向量(为任意常数,但); 2 、设A 为n 阶方阵, ,是 A 的两个不等的特征值,分别是属于和的特征向量,则不是 A 的特征向量; 3 、设n 阶矩阵 A 的n 个特征值为, ?,则(1) 1 ( ) nii tr A ????;(2) 1 niiA????(3) 2 2 1 1 1 ( ) n n n ik ki i i k tr A a a ?? ??? ?? ??由(2) 可知,非奇异矩阵的特征值全为非零数,奇异矩阵至少有一个特征值为零。 4 、若是矩阵 A 的特征值, ?是属于的特征向量,则(1 )、k 是 kA 的特征值; (2 ) 、是的特征值; (3 )当 A 可逆时,是的特征值; (4 )f (x )是 x 的m 次多项式,即 f(x)= , 则f ()是矩阵多项式 f (A )= 的特征值; (5 )是的特征值; 且?仍为对应矩阵的特征向量。注: 1 °若x 是A 的特征向量,则 x 不一定是 TA 的特征向量,因( ) 0 E A x ?? ?与( ) 0 T E A x ?? ?不一定同解。 2 °由 1 1 1 1 ( )( ) P AP P P A P ?? ???? ?? ??知1P ??是1 P AP ?的