文档介绍：平面几何中的向量方法
学****目标
体会向量是一种处理几何问题的有力工具 .、分析和解决实际问题的能力
.2.
→
，
(2)设点P坐标为(x，y)，则FP＝(x，y－1)
→
→
→
FC＝(2，1)
，∵FP∥FC，
∴
x
＝2(
y
－1)，即
x
＝2－2，
y
→
→
同理，由BP∥BE，得y＝－2x＋4，
6
x＝2y－
2，
x＝，
5
由
y
＝－2
＋4，
得
8
x
y＝5，
8
∴点P的坐标为(，).
5
5
→
＝
62
＋
82
→
，
∴||
＝2＝|
|
AP
5
5
AB
即AP＝AB.
反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路：
向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化.
向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；
④把几何问题向量化 .
跟踪训练2如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
证明
方法一
设正方形
ABCD的边长为
1，AE＝a(0<a<1)，
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a，
→→
→→
→
→
∴DP·EF＝(DA＋AP)·(EP＋PF)
→→
→→→
→
→→
＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF
＝1××cos180°＋1×(1－
)×cos90°＋
2
××cos45°＋
2
a
×(1－
a
)×cos45°
a
a
a
a
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
→
→
∴DP⊥EF，即DP⊥EF.
方法二
如图，以
A
为原点，
，
所在直线分别为
x
轴，
y
轴建立平面直角坐标系.
AB
AD
设正方形ABCD的边长为1，
AP＝λ(0<λ< 2)，
2 2 2 2
则D(0，1)，P(2λ，2λ)，E(2λ，0)，F(1，2λ).
∴
→
＝(
2
2
→＝(1－2
2
DP
2
λ，λ－1)，EF
2
λ，λ).
2
2
→
→
2
12
12
2
∴DP·EF＝2λ－2λ
＋2λ
－2λ＝0，
∴
→
⊥→
，即⊥.
DPEF
DP
EF
△
→ →
ABC中，若AB＝a，AC＝b，且
a·b<0，则△
ABC的形状为
(
)
答案
A
(2，3)，且垂直于向量
＋y－7＝0
a＝(2，1)＋y＋7＝0
(
)
－2y＋4＝0
－2y－4＝0
答案
A