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文档介绍：§ 泰勒公式
泰勒公式
几个常用函数的泰勒公式
泰勒公式的应用
一、泰勒公式
(如下图)
以直代曲
不足:
1、精确度不高;
2、误差不能估计.
本节研究以下两个问题:
(1) 是否可选取一简单曲线 n 次代数多项式
即以简单曲线逼近复杂曲线?
(2) 逼近的误差是否可给出
一个明确的表达式?
设 y = f (x) 在 x0 处有直至 n 阶的导数, 下面
考虑寻找一 n 次代数多项式 Pn(x) , 使它在 x0 处
较好地逼近 f (x)
分析:


近似程度越来越好

则由
即
称多项式为函数在点处关于
的泰勒多项式.(唯一确定)
例
求函数 y =ln(1+x) 的关于 x 幂的 n 次泰勒多项式
解
取 x0 = 0 ,
下面计算
称为函数在点
处的n阶泰勒公式.
也是用n次多项式来近似函数
的截断误差.
余项
为
佩亚诺型余项,
拉格朗日形式的余项
皮亚诺形式的余项
证明: