泰勒公式.doc

文档介绍：第9节 二元函数的泰勒公式
设连续可导的任意。固定,记,那么
（*）
下面设充分连续可导.
固定，:.
（1）当时。由复合函数的求导法那么，可求得
(2）归纳地设公式对于时是对的。
第9节 二元函数的泰勒公式
设连续可导的任意。固定,记,那么
（*）
下面设充分连续可导.
固定，:.
（1）当时。由复合函数的求导法那么，可求得
(2）归纳地设公式对于时是对的。
由（＊），
公式也是对的。
，　　．
由一元函数的泰勒公式，得
　(9。2)
因此，(，）
，　　　 　　()
其中．
我们有二元函数的泰勒公式：
定理9。1(二元函数的泰勒公式) 设函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，那么对内的任一点,有
，　　　 　　()
其中，,此式称为二元函数在点处带拉格朗日型余项的泰勒公式．

是没有意义的,只有的右边才有意义。
假设，那么得
, (9。3）
称之为二元函数的中值公式．
特别地,假设令，便得到二元函数的麦克劳林公式:
，． (）
【】　设，在点附近用二次多项式逼近，并用它计算的近似值．
解　由题意，用在处的二阶泰勒公式去掉余项即可得到所要求的二次多项式．因为，，,，,得
,，，，，，
于是有，
．
令，，故
．
【】　求的阶带拉格朗日型余项的麦克劳林公式．
解　令，那么有,当时，．由一元函数的泰勒公式，有
，　．
将代入,得，
，　．<br****题9—9
１．求函数在点处的二阶泰勒多项式．
＊２．求函数的三阶麦克劳林公式．
３．求函数在的邻域内的泰勒公式．
４．求函数的阶麦克劳林公式．并写出余项．
５．利用三阶泰勒多项式求的近似值．