文档介绍：点的轨迹方程的求法
第1页，共12页，编辑于2022年，星期四
求曲线方程的步聚：
1、建立适当的直角坐标系，并设动点坐标
2、列出动点满足的条件等式
3、列方程
4、化简
5、检验
1）已知给定长度的线段
2）已知两条垂直点的轨迹方程的求法
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求曲线方程的步聚：
1、建立适当的直角坐标系，并设动点坐标
2、列出动点满足的条件等式
3、列方程
4、化简
5、检验
1）已知给定长度的线段
2）已知两条垂直的直线
3）对称图形
如何建立合适的直角坐标系？
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1、直接法
例1、求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程。
P
A
B
x
y
o
变式：外切改为相切呢？
解：设动圆圆心为P(x,y).
由题，得
即 -4x+y2=4|x|
得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x<0),或y2=8x(x>0)
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x
例2 已知ΔABC底边BC的长为2,又知tanBtanC=t(t≠0).(t为常数).求顶点A的轨迹方程.
B C
A
所求的轨迹方程为 tx2+y2=t
y
o
变式：把tgBtgC=t(t≠0)改为C=2B呢？
tanC=tan2B
解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图直角系。则B(-1,0),C(1,0).
设A(x,y).
又tanBtanC=t
(x≠ 1)
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(2)求圆x2+y2-2x+4y=0关于直线x-y=0对称的圆方程。
2、转移代入法
变式：
(1)中点改为MP:PA=t(t>0的常数）
例3、圆 上的点M与定点A(3,0)的线段MA的中点为P，求P点的轨迹。
M
P
A(3,0)
x
y
o
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例4 如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,，求点P的轨迹。
A
o
x
y
B
C
P
G
解法一：利用韦达定理
解法二：点差法 连PO交CB于G.
设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则
x12+2y12=4
x22+2y22=4
作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0
即x0+y0k=0
又k=
解得，
x0=
y0=
x=
y=
因此
消去k,得(x+3)2+y2=9
故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.
?
3、参数法
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A
B
Q
P
x
y
o
G
变式：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，r>,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的轨迹。
设P(x1,y1),B(x2,y2),则
又AB
PA,
所以
x1x2+y1y2=a(x1+x2)-a2=ax
即(x1-a,y1) (x2-a,y2)=0,
(x,y)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(3)2+(4)2, 得 (x+a)2+y2=2r2+2(x1x2+y1y2)
结合（5），得点Q的坐标满足方程x2+y2=2r2-a2
若
，表示原点；
讨论：若
,表示原点为圆心，
为半径的圆；
若
，无轨迹。
解：连PB,AQ交于点G。设Q(x,y),G(x0,y0),则
则x+a=2x0,y=2y0.
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A
B
Q
P
x
y
o
G
又AB
PA,
所以
(x,y)
(1)
(2)
(3)
另解：设Q(x,y),G(x0,y0),则x+a=2x0,y=2y0.
设B(rcos ,rsin ),P(rcos ,rsin ),则
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1、抛物线 的顶点的轨迹方程是 。
练习
y=2x,
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依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
设 =k(0≤k≤1),由此有
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-