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图 9-2 所示。由图大致看出 µ(x)
具有线性函数 a + bx 的形式。
图 9-2
设 y 关于 x 的回归为 µ(x) 。利用样本来估计 µ(x) 的问题称为求 y 关于 x 的回归问题。特别，
若 µ(x) 为线性函数： µ(x) = a + bx ，此时估计 µ(x) 的问题称为求一元线性回归问题。本
节我们只讨论这个问题。
我们假定对于 x （在某个区间内）的每一个值有
y ~ N(a + bx,s 2 ) ，
其中 a,b 及s 2 都是不依赖于 x 的未知参数。对 y 作这样的正态假设，相当于假设
y = a + bx + ε ，ε ~ N(0,s 2 ) （ ）
其中未知参数 a,b 及s 2 都不依赖于 x 。（ ）式称为一元线性回归模型。
∆
如果由样本得到（）式中 a,b 的估计 aˆ,bˆ ，则对于给定的 x ，我们取 yˆ = aˆ + bˆx 做为
µ(x) = a + bx 的估计。方程
yˆ = aˆ + bˆx
2称为 y 关于 x 的线性回归方程或回归方程，其图形称为回归直线。
思考：
回归模型与回归方程有何异同？
（二） 的估计 取 的 个不全相同的值 作独立试验，得到样本
a,b x n x1 , x2 ,L, xn
。由（ ）式，得
(x1 , y1 ),(x2 , y2 ),L,(xn , yn )
2
yi = a + bxi + ε i ，ε i ~ N(0,s ) ，各ε i 相互独立。 （）
于是 2 ， 。且由 的独立性，知 的
yi ~ N(a + bxi ,s ) i = 1,2,L,n y1 , y2 ,L, yn y1 , y 2 ,L, yn
的联合密度为
n 1 1
L = exp − (y − a − bx ) 2
∏ 2 i i
i =1 s 2π 2s
n
1 1 n
= exp − (y − a − bx ) 2 （）
2 ∑ i i
s 2π 2s i =1
现用