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中国教育学会中学数学教学专业委员会
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9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .
10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O，
AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，
交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线
交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的
长为 .
10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 ．
三、解答题（共4题，每题15分，共60分）
11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．
11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。
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12（甲）. 如图，⊙O的直径为，过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．
12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：
（1）OI是△IBD的外接圆的切线；
（2）AB+AD = 2BD.
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13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当2012时，求a的最小值.
13（乙）．给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由．
14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.
14（乙）．将，，…，（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数 （可以相同），使得，求的最小值．
参考解答
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一、选择题
1(甲) .C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
，且，
所以 ．
1（乙）．B
解：．
2（甲）．D
解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
2（乙）．B
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2.
因为均为整数，所以有
解得
以上共计9对.
3（甲）．D
解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为
，
中位数为 ，
于是 .
3（乙）．B
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.
由于AC = BC，CD = CE，
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∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，
所以△BCD≌△ACE， BD = AE.
又因为，所以.
在Rt△中，
于是DE=，所以CD = DE = 4.
4（甲）．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得
消去x得 (2y－7)n = y+4，
2n =.
因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
4（乙）．C
解