文档介绍：第四节对面积的曲面积分(第一类曲面积分)
曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分,一种是对面积的曲面积分.
一对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质
设有一曲面型构件的物体,在点处的密度为,求此物体的质量.
求解的方法是, 将曲面分为若干个小块(),其面积分别记为(),在小块曲面上任意取一点,,将所有这样的小块的面积加起来,
当个小的曲面的直径的最大值时,上面的式子右端的极限值如果存在,
.
总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分.
设函数是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)(),其面积分别记为,在小块曲面上任意取一点,若极限
存在,则称此极限值为函数在曲面上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分).
=.
其中表示所有小曲面的最大直径, 称为被积函数, 称为积分曲面.
;
;
.
二对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算
设积分曲面由单值函数确定,曲面在坐标面上的投影为,函数在具有连续偏导数(即曲面是光滑曲面).按照对面积的曲面积分的定义有
.
设对曲面的第块在坐标面上的投影为,则可以表示为下面的二重积分:
有二重积分的中值定理有
其中是小曲面上的任意一点,为内任意一点,所以
注意到,从而得到二重积分的计算公式
.
这个公式是很容易理解和记忆的,因为曲面的方程是,曲面的面积元素为,曲面在坐标面上的投影是,:
用的函数代替;
用换;
将曲面投影到坐标面上得到投影.
简单地说就是“一代二换三投影”.
计算曲面积分,其中曲面是由平面截球面
的顶部.
图13-16
解: 曲面的方程为,它在坐标面上的投影为圆形的闭区域:.
,
所以
=
利用极坐标计算上面的积分,得到
计算曲面积分,其中曲面是由平面以及三个坐标面所围成的四面体的表面.
图13-17
解:如上图,曲面由曲面组成,其中分别是平面,上的部分.
;
;
;
.
所以
计算. 其中为上半球面.
计算. 其中为曲面介于二平面之间的部分.
计算. 其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.
求抛物面壳的质量, 此壳的面密度的大小为.
求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量.
计算. 其中为四面体, , 及的边界面.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6. .
第五节对坐标的曲面积分
一对坐标的曲面积分的概念和性质
为了讨论对坐标的曲面积分,首先要对曲面作一些说明.
1. 曲面的侧
在曲面上的任意一点处作曲面的法线向量,有两个方向,取定其中的一个方向,当点在曲面上不越过边界连续运动时,法线向量也随着连续变动,这种连续变动又回到时,法线向量总是不改变方向,则称曲面是双侧的,否则,.
今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面,如果轴的正方向是竖直向上的,,若取定的法向量是朝上的,那么实际上就是取定曲面为上侧;对于封闭曲面,若取定的法向量是由内指向外的,.
流向曲面一侧的流量
设稳定的不可压缩的液体以速度
流向有向曲面,.
如果流体流过平面上的一个面积为A的闭区域,且流体在闭区域上各点处的流速为常向量,又设是该平面上的单位法向量,那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A,斜高为的斜柱体,其体积即流量为
这就是通过闭区域A流向所指的一侧的流量.
对于一般的曲面,我们可以将它划分为若干个小块,在是光滑的和是连续的前提下,只要的直径很小,我们就可以用上任意一点处的流速
近似替代上各点处的流速,以此点处的曲面的单位法向量
代替上各点处的单位向量,从而得到通过流向指定侧的流量的近似值为
,(为的面积)
于是通过曲面指定侧的流量近似地为
注意到
;
;
.
因此上式可以写为
当所有小块的直径的最大值时,上面和的极限就是流量的精确值.
在实际问题中还有很多的类似的