文档介绍：●基础知识
一、空间直角坐标系
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫做,常用i,j,k来表示.
在空间选定一点O和一个单位正交基底,如图,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫,这时我们说建立了一个,点O叫原点,向量i,j,k都,通过每两个坐标轴的平面,分别称xOy平面、yOz平面、zOx平面.
单位正交基底
空间直角坐标系O-xyz
叫坐标平面
叫坐标向量
坐标轴
作空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°.
对于空间任一向量a,由空间向量的基本定理,存在惟一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k.
有序实数组(a1,a2,a3)叫做a在空间直角坐标系O—xyz中的 ,记为a= 对于空间任一点A,对应一个向量,于是存在惟一的有序实数组x,y,z,使=xi+yj+zk,即点A的坐标为.
坐标
(a1,a2,a3).
(x,y,z)
二、向量的直角坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
a+b= ;
a-b= ;
a·b= ;
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
a1b1+a2b2+a3b3
a∥b⇔a=λb⇔, ,
(λ∈R)或(b1,b2,b3均不为0).
a⊥b⇔a·b=0⇔.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
= ;
a1=λb1
a2=λb2
a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
这就是说,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
三、夹角和距离公式
在空间直角坐标系(图)中,已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
其中dA,B表示A与B两点间的距离,这就是空间两点间的距离公式.
四、如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作,如果a⊥α,那么向量a叫做平面α的
法向量.
a⊥α
解析:上述解法混淆了“a的单位向量”、“与a平行的单位向量”这两个不同概念,与a平行的单位向量与a同向或反向.