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第4章 一阶线性微分方程组
一
n个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组的系数的关系是：
此式称为刘维尔（Liouville）公式.
由此公式可以看出n个解的朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零
称为矩阵A的迹。记作。
一阶线性非齐次方程组的通解结构
定理（通解结构定理）：线性非齐次方程组的通解等于对应的齐次微分方程组 的通解与的一个特解之和。即 的通解为Y
其中为对应的齐次微分方程组的通解，是的一个特解。
求通解的方法——拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组的一个基本解组构成基本解矩阵
齐次微分方程组的通解为
其中
线性非齐次方程组的通解为
。
结论：线性非齐次方程组解的全体并不构成n+1维线性空间。
常系数线性微分方程组的解法
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常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（基本解组的求解方法）
求特征根：即特征方程式
det(A-
的解。
②根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应的解。（详略）
常系数线性非齐次微分方程组的解法：
①求相应的齐次微分方程组的基本解组；
用待定系数法求特解。（详略）
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二．典型例题及解题方法简介
（1）化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。
例1 化如下微分方程为一阶线性微分方程组：
解：令则
∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：
例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组：
解：令则有
∴原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组：
一般线性微分方程组的求解问题
对于一般线性齐次微分方程组 ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法。一些简单的线性微分方程组可以化为前面两章学过的微分方程来求解。
消元法（化方程组为单个方程的方法）
例3 求解方程组
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解：有前一个方程解出y并求导，有
代入后一方程化简得
假定则有，积分得
原方程组的通解为
常系数线性微分方程组在教材中介绍了若当标准型方法，其实两个方程构成的简单常系数线性微分方程组我们还可以用消元法求解。
例4 解方程组
解：由前一方程得代入后一方程，得常系数二阶线性方程
其通解为
从而
所以通解为
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例5解方程组
解：由第二式得
代入第一式得
从而可求得 代入得
将代入上述两式得
解得
所以原方程组的解为
（三）常系数线性齐次微分方程组的通解问题
虽然一般线性齐次微分方程组 ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法，但是常系数线性齐次微分方程组通过若当标准型方法，从理论上已经完全解决，根据特征根情形分别采取不同的求解方法，教材上都一一作了详细的讲解，在此不再多讲。
在此我们介绍一种通用的方法——待定系数法
步骤：①解特征方