文档介绍：(一)研究函数的单调性、极值与最值
2010届昌平二模文18 设函数,
(I) ;
(II)求函数单调区间.
解:…4分
由曲线在点处的切线与直线平行,得
……………………..6分
(II),令
,……..7分
②若当是增函数,增区间为
当是减函数,减区间为……10分
③若当是增函数,增区间为
当是减函数,减区间为…….13分
2010届朝阳二模文18 已知函数,,且.
(Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)当时,求函数的最大值;
(Ⅲ)求函数的单调递增区间.
解:(Ⅰ)函数的定义域为,.由,
(Ⅱ)由,得.
由,解得;由,解得.
所以函数在区间递增,递减.
因为是在上唯一一个极值点,
故当时,函数取得最大值,最大值为.…………………7分
(Ⅲ)因为
(1)当时,.令解得
(2)时,令,解得或.
(ⅰ)当即时,
由,及得,
解得,或;
(ⅱ)当即时,
因为,恒成立.
(ⅲ)当即时,由,及得,
解得,或;
综上所述,
当时,函数的递增区间是;
当时,函数的递增区间是,;
当时,函数的递增区间是;
当时,函数的递增区间是,.………14分
2010届海淀三上末文18 函数.
(I)若在点处的切线斜率为,求实数的值;
(II)若在处取得极值,求函数的单调区间.
解:(I) , ………………3分
若在点处的切线斜率为,
则. …………………5分
所以,,得 a =1. …………………6分
(II) 因为在处取得极值,
所以, ………………7分
即,, …………………8分
. …………………9分
因为的定义域为,所以有:
1
+
0
0
+
极大值
极小值
…………………11分
所以,的单调递增区间是,单调递减区间是. 13分
2010届北京市三上末调研文17 设,函数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在上的最小值.
解:(Ⅰ).
当时,,
所以切线方程为,即.
(Ⅱ)令,解得:.
①,则当时,,函数在上单调递减,
所以,当时,函数取得最小值,最小值为.
②,则当时,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小值
所以,当时,函数取得最小值,最小值为.
③,则当时,,函数在上单调递增,
所以,当时,函数取得最小值,最小值为.
综上,当时,的最小值为;当时,的最小值为;当时,的最小值为.
(二)零点存在与分布问题
2010届西城一模文20 已知函数().
(Ⅰ)若函数存在零点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间;并确定此时是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)设有零点,即函数有零点,
所以,解得或.…………………3分
(Ⅱ), …………………5分
令,得或,
因为时,所以,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增. …………………7分
此时,存在最小值. 的极小值为. ………………9分
根据的单调性,在区间上的最小值为, …………10分
解,得的零点为和,
结合,可得在区间和上,. …11分
因为,所以,
并且
,
即, …………………13分
综上,在区间和上,,在区间上的最小值为,,
所以,当时存在最小值,最小值为. …………………14分
2010届密云一模文18 若函数,当时,函数有极值为,
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若有3个解,求实数的取值范围。
解:(Ⅰ) ……………………………………………2分
由题意;,解得,
∴所求的解析式为……………………………………………6分
(Ⅱ)由(1)可得
令,得或, ………(8分)
∴当时, ,当时, ,当时,
因此,当时, 有极大值,…………………8分
当时, 有极小值,………10分
∴函数的图象大致如图。
由图可知:。……………………………………………………14分
2010届丰台二模文19 已知函数f(x)=在x=-2处有极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,求b的取值范围.
解: (Ⅰ) …………………………………………1分
由题意知: ,得a=-1,………………………2分
∴,
令,得x<-2或x>0, ………………………4分
令,得-2<x<0, ………………………5分
∴f(x)的单调递增区间是(-¥,-2)和(0,+¥),
单调递减区间是(-2,0)。…………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)= ,
f(