文档介绍：矩阵分析基础
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§ 向量和矩阵的范数
1．向量的范数
定义1：设X  R n，Ｘ 表示定义在Rn上的一个实值函数，
称之为X的范数，它具有下列性质：
（3）三角不等式：即对任意两中
是矩阵的算子范数。
对矩阵的任意一个算子范数
，
有
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§ 初等矩阵
初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍
一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具。
初等矩阵
定义6 设向量
，则形如
的矩阵叫做实初等矩阵，其中
是
阶单位矩阵，
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向量
，
为初等下三角阵。
初等下三角阵
具有如下性质：
(1) ；
初等下三角矩阵
定义7 令向量
则称矩阵
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(3) 任何一个单位下三角阵
都可分裂成
因此，对任一非奇异下三角阵
，都可分裂成一个非奇异
对角阵和若干个下三角阵的乘积。
(4)
左乘矩阵
的结果是从
的各行中减去第
行乘一个因子。
初等下三角阵在矩阵的满秩分解、三角分解以及解线性代数方程组的直接解法中起着重要的作用。
(2)
为单位下三角阵；
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Householder矩阵
定义8 设向量
，且
，称形如
为Householder矩阵，或称Householder变换、反射矩阵。
要得到Householder矩阵，只要在初等矩阵
中，
Householder矩阵
具有以下性质：
(1) 矩阵
是对称阵，即；
(2) 矩阵
是正交矩阵，即
(3)
变换保持向量长度不变，即对任意向量
，
;
，
即可。
取向量
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(4) 设
为以
为法向量过原点的超平面，对任意的非零
向量
，有
与
关于超平面
对称。
对任意的非零向量
，可以适当选择合适的
向量
，满足
，用其构造的
矩阵可将
变换为单位向量
的常数倍，使得
其中，
是实数，并且
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定义9 将
阶单位阵
改变第
行和第
列的四个
元素得到矩阵
Givens旋转矩阵
称为Givens旋转矩阵，或称Givens变换，
为旋转角。
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是一个正交矩阵，对任意向量
，由线性变换
，
其中，
，可得
Hessenberg矩阵
定义10 若实矩阵
的次对角线以下元素均为零，即
时，
，称形如
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的矩阵
为上Hessenberg（海森伯格）阵，或拟上三角阵。
如果次对角线元素
全不为零，则称该矩阵为
不可约的上Hessenberg阵。
对任意矩阵
，总存在正交阵
使得
为上Hessenberg阵。
对角占优阵
定义11 设矩阵
，若存在一个排列阵
，使得
否则称矩阵
是不可约的。
其中
，则称矩阵
是可约的，
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定义12 设矩阵
，若
且至少有一个不等式严格成立，则称矩阵
为弱对角占优阵，
对所有不等式严格成立，则称矩阵
为严格对角占优阵。
（对角优势定理）若矩阵
为严格对角占优阵，
或者为不可约且弱对角占优阵，则
若
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历史与注记
阿尔斯通·豪斯霍德(Alston Scott Householder，1904–1993
)Householder 1904 年生于美国伊利诺州的洛克福特。1937
年取得了芝加哥大学博士学位之后他获得洛克菲勒基金会的
资助，在芝加哥大学从事研究， 1944年被提升为数学和生物
物理学的副教授。二战后他为美国海军研究实验室作数学顾
问，他的研究兴趣转向数值计算，不久，他又转移到位于Oak Ridge，Ten
nessee 的著名的国家实验室，从事与原子能和武器有关的并行计算的研究。
他于1954～1956年间出任ACM的主席，1963—1964年又出任工业与应用
数学学会SIAM的主席。豪斯霍德1969年获Harry Goode奖，他是美国