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数学中的对称美
古代哲学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美．”作为科学语言的数学，具有一数学作为客观事物在量和形上的一种表达形式，必然会反映这种美．许多数学家往往出于对数学对称美的考虑而获得重要的数学结果．下面举两个例子．
例[2]
为什么人们通常采用以e为底的自然对数()而不是以10为底的常用对数呢？对此有多种可能的解释，但其中之一的原因就是出于对对称美的考虑．从实际看，以10为对数的底的常用对数是很方便的，但是从美学角度看，常用对数却不是十分理想的．因为：第一，真数及其常用对数的增长表现出明显的不对称性．当真数由1增大到10000时，常用对数却只从0增大到4．第二，当真数均匀地增长时，其常用对数却是不均匀的．为了克服这种不对称性，就尝试采用较小的底数，经过试验并使用极限工具，从而产生了自然对数，这正是人们对对称美追求的结果．
，在欧氏平面几何中，过两点可作一条直线，但直线不总有一个交点(当这两条直线平行时)．如果我们设想两平行线相交于无穷远点，那么就形成完全对称关系了．笛沙格正是在此设想下引进了“无穷远点”的概念，从而推动了几何的发展，建立了射影几何学．那么，为什么只是在直线上引进一个无穷远点，而不是两个呢？对于这个问题，唯一的解答就是对对称美的追求．通过引进一个无穷远点，我们就可以在平面上的直线与点之间建立对偶关系．反之，如果引进两个无穷远点，就会破坏这种对偶性．这样，在射影几何理论中，点与直线始终具有对称的重要特征，例如，两点确定一条直线，两直线确定一点；不共线三点确定一个三角形，不共点三直线也唯一地确定一个三角形等等．欧氏平面几何的定理与射影几何中的定理之间也就构成一种对称关系．
对称美在数学解题中的应用数式结构的对称，必将蕴含着解法(证法)的对称．因而，具有相同结构特征的数式具有同等的地位，处理的手法必将相同．从数学中的对称美的角度出发，常能起到优化解题思路和简化解题过程的效果．因此，巧妙地利用数学问题的对称性，有助于找到简洁优美的解决法，也有利于思想水平的提高．下面列举一些运用对称方法解题的例子．
(x0,y0)在满足条件xy1时的最大值．11
解根据x,y的对称性，令x—ky-2'211k0即xy时，zxy取得最大值：z—22
1112
k，则zxy(k)(k)k,故当
224
例[3]：abc0，求证：
a3b3
3abc
证明根据对称关系给等式a
0赋予活的数学内容，那将出现一种新的局面•首先,
它不再是一个静止的等式，而是方程
ax
bycz0有非零解：x
，它不再是
此题有多种解法，而利用对称性求解更令人赏心悦目.
一个孤立的等式，而是三个同样的等式abc0；c
最后，将上述两个等式结合起来,
0.
ax
by
cz
0
cx
ay
bz
0有非零解而系数行列
bx
cy
az
0
0；bca
得齐次线性方程组:
式等于零，即a3b3c3