文档介绍：一、周期信号的傅里叶级数展开二、傅里叶级数的基本性质信号的频域分析由时域到频域: 信号的频域分析信号的频域分析级数展开的思想源于矢量的分解。如图:一个矢量可以用一维平面的两个正交矢量表示,也可以用 n维空间的 n个正交矢量来表示,称为矢量的正交分解。 类似于此,在满足一定条件下,一般的信号也可以用一个正交函数集中的函数来表示。傅里叶级数展开的思想类似于此。 o V c2 V2 c1 V1 V1 V2 ?2 ?1 o V c3 V3 c1 V1 V1 V3 V2 c2 V2?用这个三角函数集表示一般信号即是傅里叶级数的三角函数形式。用复指数函数集表示的一般信号即是傅里叶级数的指数形式。?理论已证明: ?三角函数集, n =0,1,2, …是一个完备正交函数集,正交区间为(t 0, t 0+T)。?复函数集是一个完备正交函数集, ?不是所有的函数都可以展开为傅里叶级数,函数必须满足的条件称为 Dirichlet (狄里赫勒/ 狄利克雷)条件。} t) sin(n t), cos(n {1, 00??? 2,1,0???n } {e 0jtn? Fourier ,法国数学家、物理学家。 1768 年3月21日生于欧塞尔, 1830 年5月16日卒于巴黎。 9岁父母双亡,被当地教堂收养。1798 年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书, 1801 年回国后任伊泽尔省地方长官。 1817 年当选为科学院院士, 1822 年任该院终身秘书,后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅里叶级数(即三角级数)、傅里叶分析等理论均由此创始。一、周期信号的傅里叶级数展开一、周期信号的傅里叶级数展开周期信号能展开为傅里叶级数的充要条件: 周期信号 f(t ) 应满足 Dirichlet 条件,即: (1)在一个周期内绝对可积,即满足(2)在一个周期内只有有限个不连续点; (3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意: 条件( 1)为充分条件但不是必要条件; 条件( 2)( 3)是必要条件但不是充分条件。????ttf tTtd)( 000 tnn nCtf 0j=e)( ??????dt f(t)e T C tTt t jn ω n???? 000 0 01 连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示: 其中傅里叶系数 C n(很多资料写为 F n)计算式(T 0为周期): 物理含义: 周期信号 f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和,信号不同则 C n不同,为一一对应关系。一、周期信号的傅里叶级数展开一、周期信号的傅里叶级数展开 1 1. . 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数周期信号在一个周期内的积分与信号起点 t 0选取无关,故计算时可以根据需要选择不同的 t 0值,常选: t 0 =0 或t 0=-T 0 /2 tnn nCtf 0j=e)( ??????dt f(t)e T C tTt t jn ω n???? 000 0 01 连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示: 一、周期信号的傅里叶级数展开一、周期信号的傅里叶级数展开 1 1. . 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 1??n两项的基波频率为f ?,两项合起来称为信号的基波分量 2??n的频率为 2f ?,两项合起来称为信号的 2次谐波分量 Nn??的频率为 Nf ?,两项合起来称为信号的 N次谐波分量物理含义: 周期信号 f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和??? 利用这个性质可以将指数 Fourier 级数表示为: tnnn tnnnC C Ctf 0 0j1 j 10ee )( ??????????????? tnn 0 0jj1 0ee ??????????2 j: nnnbaC ??记由于 C 0是实的,所以 b 0 = 0 ,即得三角形式的系数 2 00aC?若 f (t)为实函数,则指数形式的系数必为(课本中已证明): tnn nCtf 0j=e)( ??????2 2. . 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数)e Re( 2 0j1 0 tnn nC C ???????? 0 0 02 ,,T Ttf ???基波角频率为周期为周期信号在满足狄氏条件时,可展成直流分量??? 000d)( 12 0 0 TttttfT a余弦分量的幅度????? 000d cos )( 2 0 0 Ttt nttntfT a?正弦分量的幅度????? 000d sin )( 2 0 0 Ttt nttntfT b?称为三角形式的傅里叶级数,其系数 2 2. . 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数) sin c