文档介绍：1 4 .数列、不等式 1 .已知前 n 项和 S n=a 1+a 2+a 3+…+a n ,则 a n= S 1n=1S n-S n-1n≥2 . 由S n求a n 时,易忽略 n=1 的情况. [ 问题 1] 已知数列{a n} 的前 n 项和 S n=n 2+1 ,则 a n= ________. 2 .等差数列的有关概念及性质(1) 等差数列的判断方法:定义法 a n+1-a n=d(d 为常数)或a n+1-a n=a n-a n-1(n≥ 2). (2) 等差数列的通项: a n=a 1+(n- 1)d或a n=a m+(n-m)d. (3) 等差数列的前 n 项和: S n= na 1+a n2 ,S n= na 1+ nn-12 d. (4) 等差数列的性质①当公差d≠0时, 等差数列的通项公式a n=a 1+(n- 1)·d= dn+a 1-d 是关于n 的一次函数, 且斜率为公差 d;前n 项和 S n= na 1+ nn-12 d= d2 n 2+(a 1- d2 )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. ②若公差 d >0 ,则为递增等差数列;若公差 d <0 ,则为递减等差数列;若公差 d=0 ,则为常数列. ③当m+n=p+q 时,则有 a m+a n=a p+a q ,特别地,当 m+n=2p 时,则有 a m+a n=2a p. ④S n,S 2n-S n,S 3n-S 2n 成等差数列. [ 问题 2] 已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n ,且 S 10= 12,S 20= 17 ,则 S 30为() A. 15B. 20C. 25D. 30 3 .等比数列的有关概念及性质(1) 等比数列的判断方法:定义法 a n+1a n=q(q 为常数) ,其中 q≠0,a n≠0或 a n+1a n= a na n-1(n≥ 2). 如一个等比数列{a n} 共有 2n+1 项,奇数项之积为 100 ,偶数项之积为 120 ,则 a n+1= 56 . (2) 等比数列的通项: a n=a 1q n-1或a n=a mq n-m. (3) 等比数列的前 n 项和:当 q=1 时, S n= na 1 ;当 q≠1 时, S n= a 11-q n1-q = a 1-a nq1-q . 易错警示:由于等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1 ,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时, 2 要对 q分q=1和q≠1 两种情形讨论求解. (4) 等比中项:若a,A,b 成等比数列, 那么 A 叫做 a与b 的等比中项. 值得注意的是, 不是任何两数都有等比中项, 只有同号两数才存在等比中项, 且有两个, 即为± ab. 如已知两个正数 a,b(a≠b) 的等差中项为 A ,等比中项为 B ,则 A与B 的大小关系为 A>B. (5) 等比数列的性质当m+n=p+q 时,则有 a m·a n=a p·a q ,特别地,当 m+n=2p 时,则有 a m·a n=a 2p. [ 问题 3] (1) 在等比数列{a n}中,a 3+a 8= 124 ,a 4a 7 =- 512 , 公比 q 是整数,则a 10= ________.