文档介绍：专题4 函数的性质(一)
一、知识网络
二、高考考点
;单调区间的寻求.
;函数单调性与奇偶性联系的应用.
.
;函数的奇偶性,周期性与方程的问题.
——函数图形的对称性.
;正反函数的联系及求值问题.
三、知识要点
(1)定义:设函数f(x)的定义域为I,区间D , D,当< 时,都有
f( )<f( )(或f ( )>f( )),则称f(x)是区间D上的增(减)(x)的单调区间.
认知:
(Ⅰ),单调性往往是函数的局部性质,而对于这一区间而言,单调性又是函数在这一区间上的“整体”, 具有任意性,不能以特殊值代替.
(Ⅱ)函数f(x)在区间D上递增(或递减),与f(x)图像在区间D上部分(从左向右)的上升(或下降)是一样的.
(Ⅲ)注意到定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通:
f(x)在D上为增函数且f( )<f( ) < ,且, D;
f(x)在D上为减函数且f( )<f( ) > , , D.
(2)定义的应用
单调性的定义,是判断,
(Ⅰ)设值定大小:设, 为给定区间上任意两个自变量值,且< ;
(Ⅱ)作差并变形:作差f( )-f( ),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形;
(Ⅲ)定号作结论:确定差值的符号,当符号不确定时考虑分类讨论,而后根据定义作出结论.
在这里,差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,应用最为广泛的是分解因式.
(3)延伸
单调性相同的两个函数的复合函数必为增函数;
单调性相反的两个函数的复合函数必为减函数.
复合函数单调性问题的解题思路
(Ⅰ)引元分解:引入新元,将所给函数分解为两个(或两个以上)简单函数(化整为零);
(Ⅱ)分别考察:分别考察内,外两层函数在各自定义域上的单调性;
(Ⅲ)综合结论:利用单调性定义或上述命题,由内,外两层函数的单调性作出相关结论.
(1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.
(2)认知:
(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.
(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:
①考察函数定义域;
②考察f(-x)与f(x)的关系;
③根据定义作出判断.
(Ⅲ)定义中条件的等价转化
①f(-x)=-f(x) f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1 (f(x)≠0)
②f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) =1 (f(x)≠0)
(3)延伸:
(Ⅰ) 设函数f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有
f(x)= + =g(x)+p(x)
其中,g(x)= 为偶函数,p(x)= 为奇函数.
即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
(Ⅱ)若f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,则f(0)=0.
(4)奇(偶)函数图像的特征
(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称;
(
Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称.
(5)奇偶性与单调性的联系
当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题:
设G,G'为函数f(x)的定义域的子区间,并且区间G与G'关于原点对称,则有
(Ⅰ)当f(x)为奇函数时,f(x)在区间G和区间G'上的单调性相同;
(Ⅱ)当f(x)为偶函数时,f(x)在区间G和区间G'上的单调性相反.
这一命题又可凝练为八个字:区间对称,奇同偶反.
(x)=ax+ (x>0)的单调性,其中a>0,且b>0.
< < ,则