文档介绍：第八章猜想与反驳课件
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第一节 归纳猜想
归纳猜想是数学素养的一个重要方面, 是合情推理的表现形式之一。猜想——明智的猜想, 是发现的主要途径而归纳是猜想的一个重要前提工作,他们还不能脱离具体情境, 因此, 许多学生首先画出几个简单的多边形进行观察( 如图5) .与此同时, 画出表格帮助他们从形式上进行分析. 例如有学生H 画出表2 来进行归纳猜想.
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图5
表2
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边
对角线
获得过程
每个顶点引出的对角线数目
3
0
( s - 3) s ÷ 2
0
4
2
( s - 3) s ÷ 2
1
5
5
( s - 3) s ÷ 2
2
6
9
( s - 3) s ÷ 2
3
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虽然, 学生H 通过列举几个基本的简单图形寻找模式, 她把相应的对角线的条数也在表格中写了出来, , 关于数据的归纳还没有形成, 所以, 她结合具体图形, 寻找问题的解决方案. 她发现从多边形的每个顶点出发, 引出的对角线和边数有关系, 总是比边数少3条, 因此她寻找到了数学的模式
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归纳猜想就出现了: 假设边数为s, 则从每个顶点出发的对角线的条数就是s - 3, 两者相乘, 得到s ( s - 3) , 然而对角线连结两个顶点, 所以顶点都计算了两次, 要再除以2, 得到公式: ( s - 3) s ÷ 2. 她没有因此而结束, 接着她选择了七边形进行了验证, 计算结果和事实一致, 这样她才得出最后的数学表达式:( s - 3) s÷2这个公式当然需要演绎推理证明, 不过对于初学代数的学生来说, 这已经足够了.
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、形式化的归纳猜想
符号化、形式化的归纳猜想可以脱离原问题情境, 在数学思维的高层次寻找一般数学模式, 在这个过程中, 归纳猜想常常是突然地闪现出来, 这如同数学家的 灵感一样; 但是对于一般的学校教育, 这样的归纳猜想也时常发生, 对于培养学生的逻辑思维能力也有很好的帮助. 前面讲过的例子我们都可以使用抽象的形式归纳猜想,
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对于数学理解层次较高的学生来说, 可以鼓励使用形式化的归纳猜想; 然而, 对于一般学生来说, 结合具体情境比较合适, 因为形式化的归纳相对比较抽象, 如果理解不透彻, 即使从数与数之间的关系归纳出数学模式, 但是对于问题中的数量关系不一定理解, 这就成了 “夹生饭”, 不利于学生进行创造、发现, 因此, 在使用形式化归纳时要小心谨慎.
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归纳猜想不仅在数学学习中起着重要的作用, 在日常生活和工作中, 也是人们必不可少的能力. 通过观察一些表象问题, 从中概括归纳一般规律, 猜想事物的本质. 这是人们认识世界和改变世界的必要手段. 对于学校教育中的学生来说, 归纳猜想则是必不可少的数学素养之一。应当引起数学教育和学校教育的足够重视.
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第二节 类比猜想
, 是根据两个( 或两类) 对象之间在某些方面的相同或相似而推出它们在其他方面也可能相同或相似的一种逻辑思维方法.
运用数学类比思维可以把陌生的对象和熟悉的对象进行对比, 把未知的东西和已知的东西相对比, 特别是在资料少, 还不足以进行归纳推理和演绎思维的情况下, 类比可以启发思路,提供线索.
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2.
类比法具有两个特征：一是适用范围广, 可以跨越各个种类进行不同类事物的类比, 既可以比较本质的属性, 又可以比较非本质的特征.
二是具有较强的探索性和预测性, 由此可见, 在数学教学中, 根据教材的特点, 运用类比方法, 引导学生去探索和发现问题, 是培养学生创新意识的有效途径.
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.
通过对旧知识的回忆、类比可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法。如学习立体几何空间两直线的位置关系时, 首先启发学生回顾平面内两条直线的位置关系进行类比联想:
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先由平面中两条直线的位置关系平行或相交. 设问空间中两条直线的位置关系是否也是只有平行与相交的两