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【考点25】空间直角坐标系、空间向量
2020年考题
1.（2020安徽高考）在空间直角坐标系中，点A（1，0，2平面,得，由于,故.（精品文档请下载）
方法二：（Ⅰ）；连，设交于于,由题意知。以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图。设底面边长为，那么高。（精品文档请下载）
于是 。k。s。5。u。c。
故，从而
(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量
，设所求二面角为,那么,所求二面角的大小为
（Ⅲ)在棱上存在一点使. 由(Ⅱ)知是平面的一个法向量，
且
设 那么
而即当时， w。。。5。u。
而不在平面内,故
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
O
P
6.(2020山东高考）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，（精品文档请下载）
底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4， BC=CD=2， AA=2，
E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
证明：直线EE//平面FCC;
求二面角B-FC-C的余弦值。。。。
【解析】方法一:（1）在直四棱柱ABCD—ABCD中，取A1B1的中点F1,
连结A1D，C1F1，CF1，因为AB=4， CD=2,且AB//CD,所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D,（精品文档请下载）
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.
（2）因为AB=4， BC=CD=2， 、F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形,取CF的中点O,那么OB⊥CF，又因为直四棱柱ABCD—ABCD
中，CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO，所以OB⊥平面CC1F，过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,那么∠OPB为二面角B—FC-C的一个平面角, 在正三角形△BCF中，,在Rt△CC1F中， △OPF∽△CC1F，∵∴, 。w。k。s。。 （精品文档请下载）
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
x
y
z
M
在Rt△OPF中，，，（精品文档请下载）
所以二面角B-FC-C的余弦值为.
方法二:（1)因为AB=4， BC=CD=2， F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形, 因为ABCD为
等腰梯形,所以∠BAD=∠ABC=60°，取AF的中点M,
连接DM，那么DM⊥AB，所以DM⊥CD，
以DM为x轴,DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
，那么D(0，0,0)，A（，-1，0)，F(,1,0），C（0，2，0)，
C1（0，2,2）,E（，,0）,E1（,—1,1）,
所以，,设平面CC1F的法向量为那么所以取,那么
，所以,所以直线EE//平面FCC。 w。w。。。。m （精品文档请下载）
(2）,设平面BFC1的法向量为，那么所以,
取，那么，
，， 。。。
所以,
由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为。 w。。。m （精品文档请下载）
7。(2020上海高考)如图,在直三棱柱中，，（精品文档请下载）
,求二面角的大小。
【解析】如图，建立空间直角坐标系那么A（2,0,0）、C（0，2，0）