文档介绍：第1章随机事件及其概率
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=。时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B<=A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当加作为g3)的概率。
连续型
先利用X的概率密度fjx)写出Y的分布函数F」y)=P(g(X)Wy),再利用变上下限枳分的求导公式求出fr(y)o
第三章二维随机变量及其分布
连续型
对于二维随机向量卡=(X,V),如果存在非负函数
/(.V,y)(-0°<x<4-00,-00<y<+s)，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
P{(X,k)6D}=，以My,则称f为连续型随机向量：
D
并称f(x,y)为&二(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分
布密度。分布密度f(x,y)具有下面西个性质：
f(x,y)N0;
y)dxdy=1.
离散型与连续型的关系
P(X=x,X=y)«P(x<X<x+dr,y<Ky+dy)«/(x,y)dxdy
边缘分布
离散型
X的边缘分布为
=P(X=天)=£Pij(i,j—1,2,A):i
Y的边缘分布为
=p(v=y,)=£p>j('，j=12a)。
i
型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为人(〉)=匚'(勺)女
离散型
P"=
有零不独立
连续型
f(x,y)=fx(x)fr(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形
随机变量的
函数
若X：,・・X,J・・・％相互独立,h,g为连续函数,则：
h(Xx,X：,…笔)和g(知,・・乂)相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h(X)和&(Y)独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5丫-2独立。
函数分布Z=niaxjiini(XuX2/-Xn)/分布t分布根据定义计算：rz(z)=p(z<z)=p(x+r<z)态分布的和仍为正态分布n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
〃=£以，b，=£c,代Ii若X\,X、AX”相互独立，其分布函数分别为F(x),F(x)AF(x),则Z-(Xi•*Xn)的分布*'2函数为：
F*(Q=%(x)•F“(x)AFXu(x)Fam(x)=1-[1-%⑴]•[1-%(x)]A[1-Fj(x)]设n个随机变量X],X：,A,X"相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和W=立X：我们称随机变留W服从自由度为n的Z2分布记为1-1W〜/'(〃)
所谓n由度是指独由态随机变日•的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
/分布满足可加性：设匕-Z2(//,),则z=£匕〜/'(〃]+株+A+叫).|»1设X,Y是两个相互独立的随机变量，且X~N(),Y~/'(〃),可v以证明函数T=-^=我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,>JY7n记为T〜t(n)・(//)=-ta(n)
F分布
设X〜/气外)了〜/(化)，且X与Y独立，可以证明
F=X_ih_我们称随机变最f服从第一个自由度为m,第二个
YE
mb
自由度为n：的F分布，记为F~f(m,m).
F°(七，叫)
第四章随机变量的数字特征
(1)
一维随机变M的数字特征
离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变最,其分布
律为P(X=xk)=Pk,
k=l,2,…，n,
E(X)=i>PA
(要求绝对收敛)
(x)»
■KCE(X)=JV(%Xv
(要求绝对收敛)
函数的期望
Y=g(X)
E(Y)=Yg(xk)Pkk=l
Y=g(X)
项丫)=JgWf(x)dx
-X
—
D(X)=E[X-E(X)]:,标准差
a(X)=』D(X),
o(x)=£k—e(x)]F
D(X)=][x-E(X)Y-00
(2)期望的性质
E(C)=C
E(CX)=CE(X)
E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(£C,Xj)=£CtE(XJ
函
E(XY)=E(X)E(Y),充分条件：X和Y独立：
充要条件：X和Y不相关。
f(x)dx
(3)方差的性质
D(C)=O；E(C)=C
D(aX)=a：D(X)；E(aX)=aE(X)
D(aX+b)=a：D(X):E(aX+b)=aE(X)+b
D(X)=E(X-)-E:(X)
D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y