文档介绍：第四章线性系统的根轨迹分析
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根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点:
（1）图解方法，直观、形象。
（2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统
性
基本法则（4）——根轨迹的渐近线
法则4 如果控制系统的开环零点数m 少于开环极点数n 时，渐近线有n-m 条，这些渐近线在实轴上交于一点。渐近线为
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由长除法可得
渐近线
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做长除法并取高次项，得
由二项式定理
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基本法则（5）——实轴上的根轨迹
法则5 实轴上根轨迹是那些在其右侧的开环实极点数与开环实零点数的总数为奇数的线段。简记为“奇是偶不是”。
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实轴上的根轨迹示例
例3 某单位反馈系统的开环传递函数为
，证明复平面的根轨迹为圆弧。
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定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，
则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。
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基本法则（6）——与虚轴交点
法则6 与虚轴交点：
解法I ：
1）系统临界稳定点
2）s = jw 是根的点
[接例3]
Routh ：
解法II ：
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基本法则（7）——分离点 d
法则7 分离点 d：
（对应重根）
当K*从0变到∞时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。
当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点。
或
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复数分离点示例
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分离点的必要条件
设开环传递函数为
该方程只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看是否满足相角条件。
特征方程为
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分离点的必要条件
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分离点的必要条件
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基本法则（8）——出射角/入射角
法则8 出射角/入射角
根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴方向的夹角称为出射角，根轨迹进入某个开环零点的切线与实轴的正方向的夹角称为入射角。
简记“加零去余极”
简记为“加极去余零”
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出射角/入射角示例
例4 单位反馈系统的开环传递函数为
，绘制根轨迹。
注意
只有复数极点或复
数零点才需要计算
出射角/入射角。
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出射角/入射角示例
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基本法则（9）——根之和
法则9 根之和：
证明：
n-m ≥ 2时，闭环根之和保持一个常值。
由代数定理：
n-m ≥ 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。
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绘制根轨迹法则小结
法则 4 渐近线
法则 3 根轨迹的起点和终点
法则 1、2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
法则 5 实轴上的根轨迹
法则 9 根之和
法则 6 分离点
法则 7 与虚轴交点
法则 8 出射角/入射角
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2、除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易事，可以考虑用试根法；手工求出射角和入射角也不太好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。
3、手工画根轨迹最有用的规则是1到5和7，如果想得到更精确的根轨迹图，可用Matlab绘制。
1、根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是手工绘图，根据规则1到规则5就能很快地画出大致形状，再按规则7求出参数 K*的临界值K*c，这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根轨迹的****题（考题）就是指这种概略图。
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