文档介绍：矩阵分析及其应用 矩阵序列定义 设矩阵序列{A (k) }, 其中 A (k) =()(k ija ) ?C m ?n,当k ??, )(k ija ?a ij 时,称矩阵序列{A (k)} 收敛,并称矩阵 A=( a ij) 为矩阵序列{A (k)} 的极限,或称{A (k)} 收敛于 A, 记为 AA kk???)( lim 或A (k)?A 不收敛的矩阵序列称为发散的。由定义,矩阵序列 A (k) 发散的充要条件为存在 ij使得数列)(k ija 发散。类似地,我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义定义 ' 矩阵序列{A (k)} 收敛的充要条件为对任给?>0 存在 N( ?),当k,l ? N( ?) 时有||A (k)?A (l) ||< ?其中||.|| 为任意的广义矩阵范数。例1????????????????? nk n nk ke nn 1 2 )() sin( ) 1 sin( 11A 如果直接按定义我们因为求不出 A (n) 的极限从而很难应用定义 证明收敛。相反,由于???????????? nmk nmk nmkkkkk k 11 21 2)1( 11) sin( < 1/m 从而只要 l 充分大,则当 m,n>l 时就有????? nmkk k 1 2) sin( 这样 A (l) 收敛。定理 A (k)?A 的充要条件为||A (k)? A|| ?0 证明:利用广义矩阵范数的等价性定理,仅对?范数可以证明。即c 1 ||A (k)? A|| ??||A (k)? A|| ?c 2 ||A (k)? A|| ?性质 0若A (k)?A ,则||A (k) || ?||A|| 成立。性质 (k)?A m ?n,B (k)?B m ?n,则??A (k)+ ??B (k)??? A+ ??B, ??, ??C 性质 (k)?A m ?n,B (k)?B n ?l,则 A (k)?B (k)?A ?B 证明:由于矩阵范数地等价性,我们可以只讨论相容的矩阵范数。||A (k)?B (k)?A ? B|| ?||A (k)?B (k)?A ?B (k) ||+||AB (k)?A ? B|| ?||A (k)? A|| ?||B (k) ||+||A|| ?||B (k)? B|| 注意||B (k) || ?||B|| , 则结论可得。特别地有性质 2’.A (k)?A 的充要条件为 A (k)x ?A x, 对任意 x 成立或者 y HA (k)x ?y HAx, 对任意 x,y 成立. (在无穷维空间中称为弱收敛,但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的) 对于 Hermite( 对称) 矩阵我们有如下的定理: 设A (k), k=1,2, …,和A 都为 Hermite 矩阵,那么 A (k)?A 的充要条件为 x HA (k)x ?x HA x, 对任意 x 成立推论:设A (k), k=1,2, …, 为半正定的 Hermite 矩阵, 且单调减少,即A (k)和A (k)?A (k +1) 为半正定 Hermite 矩阵,那么 A (k) 有极限. 性质 3设A (k)和A 都为可逆矩阵,且 A (k)?A ,则(A (k)) ?1?A ?1 证明: 因为 A ?1?(A (k)) ?I. 所以存在 K,当k>K 时有||I ?A ?1?(A (k) )||<1/2 我们有(A (k)) ?1=A ?1 +(I ?A ?1?(A (k) )) (A (k)) ?1 从而||(A (k)) ?1 || ?||A ?1 ||+||( I ?A ?1?(A (k) ))|| ?|| (A (k)) ?1 || 当 k>K 时,有||(A (k)) ?1 || ?||A ?1 ||+1/2 ?|| (A (k)) ?1 || 即||(A (k)) ?1 || ?2 ?||A ?1 || 因为 A ?1?(A (k)) ?1=A ?1 (A (k)? A) (A (k)) ?1 从而||A ?1?(A (k)) ?1 || ?||A ?1 || ?||A (k)? A|| ?||(A (k)) ?1 || (当 k>K 时) ?||A ?1 || ?||A (k)? A|| ? 2||A ?1 || (当k ??时) ?0 由定理 有(A (k)) ?1?A ?1 定义 矩阵序列{A (k)} 称为有界的,如果存在常数 M>0 ,使得对一切 k 都有|)(k ija |<M 或等价的||A (k) ||<M ’定理:有界的矩阵序列{A (k)} 一定有收敛的子列。定义 设A 为方阵,且当 k ??时有 A k?0 ,则称