文档介绍：(16)(本小题共 14 分)如图, 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2,DC=2 3 ,AA1= 3 ,AD⊥DC,AC⊥BD, 垂足未 E,(I)求证:BD⊥A1C;(II)求二面角 A 1-BD-C 1 的大小;(III)求异面直线 AD 与 BC 1 所成角的大小.(I)在直四棱柱 ABCD-AB1C1D1 中,∵AA1⊥底面 ABCD.∴ AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影.∵BD⊥AC.∴ BD⊥A1C;(II)连结 A1E,C1E,A1 (I)同理可证 BD⊥A1E,BD⊥C1E,∴∠A1EC1 为二面角 A1-BD-C1 的平面角. ∵ AD⊥DC,∴∠A1D1C1=∠ADC=90°,又 A1D1=AD=2,D1C1= DC=2 3 ,AA1= 3 且 AC⊥BD,∴ A1C1=4,AE=1,EC=3,∴ A1E=2,C1E=2 3 ,在△A1EC1 中,A1C12=A1E2+C1E2, ∴∠A1EC1=90°,即二面角 A1-BD-C1 的大小为 90°.(III)过 B 作 BF//AD 交 AC 于 F,连结 FC1,则∠C1BF 就是 AD 与 BC1 所成的角.∵ AB=AD=2,BD⊥AC,AE=1,∴ BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,∴ FC1= 7 ,BC1= 15 ,在△BFC1 中, 115 4 7 15cos51 2 15C BF ,∴∠C1BF=os5即异面直线 AD 与 BC1 )(本小题共 14 分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且PA=PB,点 E 是 PD 的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥PB;(Ⅱ)求证:PB//平面 AEC;(Ⅲ)求二面角 E—AC—B :(Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB 是 PB 在平面 ABCD ∵AB⊥AC,AC 平面 ABCD,∴AC⊥PB.(Ⅱ)连接 BD,与 AC 相交于 O,连接 EO.∵ABCD 是平行四边形,∴O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点∴EO∥ PB 平面 AEC,EO 平面 AEC,∴PB∥平面 AEC.(Ⅲ)取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为( , , 0)2 2a b,OG =(0, , 0)(0, , ),2 2b bOE ( , 0, 0).AC a, ,OE AC OG AC EO G 是二面角 E AC B 的平面角2cos cos , .2OE OGEOG OE OGOE OG 135OEOG 二面角 E-AC-B .(本小题共 14 分)如图,在Rt AOB△中,π6OAB ,斜边 4AB .Rt AOC△可以通过Rt AOB△以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B AO C D 的斜边 AB 上.(I)求证:平面COD 平面 AOB ;(II)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与CD 所成角的大小;(III)求CD 与平面 AOB :(I)由题意,C O AO , BO AO ,BO C 是二面角 B AO C 是直二面角,又二面角 B AO