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§3．1 代数计算及通过代数计算进行说A、B两点在y轴左侧时，－2＜x1＜0，－4＜x2＜－2．所以0＜x1x2＜8．
综合①、②，不论0＜x1＜2或－2＜x1＜0，都有0＜x1x2＜8．
所以0＜＜8．所以a＞．
由ax2＋(b－1)x＋1＝0，得x1＋x2＝，x1x2＝．
由| x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4．
所以．整理，得．
所以＝＝＝．
如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线，在对称轴右侧，t随a的增大而增大．因此当时，t取得最小值，t＝＝．
所以t的取值范围是t＞．
图4 图5
考点伸展
第（3）题我们也可以这样来讨论：
一方面，由| x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4．
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所以．整理，得．
另一方面，由f(2)＞0，f(－2)＜0，得f(2)f(－2)＜0．
所以＜0．
所以＝＝＜0．所以a＞．
例 2 2014年湖南省怀化市中考第23题
设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
动感体验
请打开几何画板文件名“14怀化23”，拖动x轴上表示实数m的点运动，可以体验到，当m小于1时，抛物线与x轴有两点交点A、B．观察点D随m运动变化的图像，可以体验到，当m＝－1时，点D到达最高点．
思路点拨
1．先确定m的取值范围，由两个条件决定．
2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m的方程．
3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m提取出来，可以使得过程简便一点．
图文解析
（1）因为方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0．
由∆＝4(m－2)2－4(m2－3m＋3)＝－4m＋4＞0，得m＜1．
又已知m是不小于－1的实数，所以－1≤m＜1．
由根与系数的关系，得，．
若，那么．所以．
整理，得．解得，或（舍去）．
所以．所以＝＝．
（2）＝＝
＝＝
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＝＝
＝＝．
所以当m＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．
图1
考点伸展
当m变化时，抛物线y＝x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？
因为抛物线的对称轴是直线x＝－(m－2)，所以抛物线的顶点的纵坐标
y＝(m－2)2－2(m－2)2＋m