文档介绍：1 1 ( Schwarz )不等式 内积定义:对维列向量称 为向量与的内积,记为 . ,记为 . n???? Tn Tny,,y,yy,x,,x,xx?? 21 21?? nn Tyxyxyxyx????? 2211x y?? y,x : ???? x,yy,x?⑴???? y,xky, kx?⑵?????? z,yz,xz,yx???⑶ : 维向量的长度(或者)范数为 nx?? 2 22 21nxxxx,x?????记为 . . x西安建大西安建大范数性质: ⑴非负性:对任何向量 ,有, 当且仅当 时, ; x0?x 0?x0?x⑵齐次性:; ; xk kx?⑶三角不等式:. . yxyx???1?x当 时,称 为单位向量. x西安建大西安建大 ( Schwarz )不等式 对任何实数和维向量,有 即所以 即 () 上式被称为许瓦兹( Schwarz )不等式. kn?? 0???y kx ,y kx?????? 0 2 2???y,yy,xkx,xk???????? 0 42 2??y,yx,xy,x?????? y,yx,xy,x? 时,定义向量与夹角的余弦为: 0?yx x y??? yx y,x cos ???? 0?y,x当 时,称向量与正交正交. . 显然,零向量与任何向量正交. x y西安建大西安建大正交向量组:对不含零向量的向量组,若其中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组. 例如: 维单位坐标向量组就是一个正交向量组. n如果向量空间的一组基是正交向量组,则称它为向量空间的正交基. 若 为正交向量组, 则它线形无关. 证明:设有数 使两边同时左乘 得 , 因为 ,所以因此 线形无关. r,,,???? 21rk,,k? 10 11??? rrkk??? Ti? 0? i Tiik??0? i Ti??)r,,,i(k i? 210?? r,,,???? 21西安建大西安建大 r,,,???? 21x定理 若 为 维正交向 量组,且 ,则必有非零 维向量 , 使 与 两两正交. r,,,???? 21n nr?nx 推论: 对 个两两正交的 维非零向量,总可以添上 个 维非零向量,使个向量两两正交,从而这个向量就构成了向量空间 的一组正交基. ?? nrr? nrn? nn n 已知 的一个向量 , 求 的一组正交基. 3R?? T,,111 1?? 3R 解:求 ,使即: 得 与 正交. 再求 ,使得 即为所求. 就构成了的一组正交基. ?? Tx,x,x 23 22 21 2??0 21??? T0 23 22 21???xxx?? T,,101 2??? 1??? Tx,x,x 33 32 31 3???? 0 321???? T,?? T,,121 3??? 321???,, 3R