文档介绍：第3讲立体几何中的向虽方法
【高考考情解读】高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)(或是否存ABCD所在平面与平面四边形方
ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,
FA=FE,ZAEF=45°.\\a
求证：EFn面BCE;DPr
设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证：PM//平面BCE.
证明•••△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,AE±AB,.•平面ABEF上平面ABCD且平面ABEF口平面ABCD=AB,AEL平面ABCD,...AE±AD,
即AD、AB、AE两两垂直，
设AB=1,贝UAD=AE=1,
A(0,0,0),B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0),'
.•FA=FE,ZAEF=45°,*
•••ZAFE=90°,
…l£11)n£11)
从而F[0,—2，2卜EF=[0,—2,—2J，
BE=(0,-1,1),BC=(1,0,0).
一一二"一11一二->一
于是EFBE=0+2—2=0,EFBC=0,EFJ_BE,EFJ_BC,
.•BE?平面BCE,BC?平面BCE,BCABE=B,
•••EF上平面BCE.
M[0,0,；；,P[1,1,0■-
从而pm=侦1,—^,2i,
于是PMEf=i—1,一
12'
11/（。，—2，—2）
c11c
=。+「4=°.
PM±EF,又EF上平面
BCE,直线PM不在平面
BCE内，故PM//平面BCE.
考点二利用向量求空间角【例2】(2013湖北)如图，AB是圆O的直径，点C是圆
O上异于A,B的点，直线
PCX平
面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为1,试判断直线
1与平面PAC的位置关系,
并加以
证明;⑵设⑴中的直线1与圆O的另一个交点为D,且点
1
Q满足DQ=-CP,记直线
PQ与平
面ABC所成的角为。，异面直线PQ与EF所成的角为a,二面角E-l-C的大小为
求证：sinXsinosing
⑴解直线1//平面PAC,证明如下:
连结EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,
所以EF//AC.
又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,
所以EF//平面ABC.
而EF?平面BEF,且平面BEF口平面ABC=l,
所以EF//l.
因为l?平面PAC,EF?平面PAC,
所以直线l//平面PAC.
、—一•一,r1r,,“__
⑵证明如图，由DQ=2CP,作DQ//CP,
且DQ=；CP.
/e/gk\\
连结PQ,EF,BE,BF,BD,
由(1)可知交线l即为直线BD.
以点C为原点，向量CA,CB,CP所在直线分别为x,v,z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
设CA=a,CB=b,CP=2c,则有
C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E版a,0,cj,F(0,0,c).
于是FE=ga,0,0[QP=(—a,—b,c),BF=(0,—b,c),_IFEQP|_acosLf!向「V^；2'
—.23+c2
从而sina=Y1-cosa=J,a2+b2+c2
又取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),—|mQP|cSin|m|谛」后京，
设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z).
nFE=0,
所以由、[nBF=0.
—ax=0可得/'取n=(0,c,b).
、一by+cz=0.
|mn|bb2+c2
于正|cos可=—|m||n|从而sin片寸1-cosc•n
jsin0,
■a2+b2+c2
即sin0=sinosin&
探究提高（i）运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几
何结论.（2）求空间角注意：①两条异面直线所成的角a不一定是直线的方向向量的夹
角3,即cosa=|cos曰.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角.
变式训练2-（2013山东）如图所示，在三棱锥P—ABQ中，PBL平
面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP
的中点，AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连结GH.
求证：AB//GH;
求二面角D—GH—E的余弦