文档介绍：第二章
一、导数和微分的概念及应用
二、导数和微分的求法
导数与微分
三、典型题型的解题方法与技巧
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一、导数和微分的概念及应用
★导数:
当
时,为右导数
当
时,为左导数
★微分:
★可导与可微的概念:
可导
存在.
可微
其中A是与
无关的常数.
特点是:“分子一定一动,分母有左有右”分子是函数值之差, 分母是相应的自变量之差,分母趋于零的极限.
能
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联系:
区别:可从定义式子;实质;几何意义三方面考察.

是函数相对于自变量的变化率.

是相对于自变量改变量为
时,
★导数与微分的区别与联系
函数改变量
的线性主部.
即
当
是曲线的纵坐
标增量时,
就是切
线纵坐标对应的增量.
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★可导与可微的区别与联系:
区别:可从定义式子;几何意义两方面考察.
可导
存在.
可导
一定有切线
且切线不垂直于x轴.
以直代曲
当
很小时,
在点M的附近,
可用切线段近似地代替曲线段.
可微
联系:
可微必可导,可导必可微.
可微
其中A是与
无关的常数.
能
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★几个定理
定理1
定理2
定理3
在
处可导
在
处连续
在
处的极限一定存在,
即
存在.
在
可微
可微
可导
连续
有极限
有定义
在点可微
在点处可导
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思考:
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★应用:
(1) 利用导数定义解决的问题
(2) 用导数可求切线与法线的方程
4)用导数定义求极限;
2) 求分段函数在分界点处的导数,
及某些特殊
函数在特殊点处的导数;
3) 由导数定义证明一些命题;
1) 利用导数的定义求函数在某点处的导数;
用导数可求变速直线运动的速度与加速度
5)判断函数在某一点的可导性.
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1)几何应用
(1)几何意义:
是y=f(x)在点
(2)切线、法线的方程:
切线的方程:
法线的方程:
2)物理应用
瞬时速度:
瞬时加速度:
处切线的斜率.
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二、导数和微分的求法(微分法)
1. 正确使用导数及微分公式(16个)和法则(四则法则;锁链法则;反函数求导法则)
2. 熟练掌握求导方法和技巧
(1) 求分段函数的导数
注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法(直接法、微分法)
(3) 参数方程求导法(复合函数法、微商法)
(5) 复合函数求导法
(可利用微分形式不变性)
(6) 高阶导数的求法
(逐次求导归纳;间接求导法)
(4) 对数函数求导法(对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用)
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(P94)及法则
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