文档介绍：二、洛比达法则及其应用
一、微分中值定理及其应用
中值定理及导数的应用
第三章
三、导数应用---研究曲线的性态
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罗尔定理
拉格朗日定理
柯西定理
一、微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理
2
其中余项
当
时为麦克劳林公式.
泰勒中值定理
阶的导数,
时, 有公式
则当
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拉格朗日中值定理
2. 微分中值定理之间的相互关系
罗尔定理
柯西中值定理
泰勒中值定理
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(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
关键:
利用逆向思维
设辅助函数
经验1:
欲证
时
只需证在上
3. 微分中值定理的主要应用
利用中值定理证明不等式的步骤:
(3) 根据a<ξ<b的关系,证明出不等式.
(2) 利用中值定理,
(1) 设出辅助函数和区间,
经验2:
经验3:欲证
(1)设函数
(2)验证函数在区间上满足罗尔定理.
研究函数或导数的性态—导数的应用及求不定式的极限
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4. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维, 设辅助函数.
一般解题方法:
证明含一个中值的等式或根的存在,
(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数,
(3) 若结论中含两个或两个以上的中值,
可用原函数法找辅助函数.
多用罗尔定理,
可考虑用柯
西中值定理.
必须多次应用
中值定理.
(4) 若已知条件中含高阶导数, 多考虑用泰勒公式,
有时也可考虑对导数用中值定理.
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例1. 设
在
内可导, 且
证明至少存在一点
使
上连续, 在
证: 问题转化为证
设辅助函数
显然
在[ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件,
故至
使
即有
少存在一点
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例2. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有
的零点.
提示: 设
欲证:
使
只要证
亦即
作辅助函数
验证
在
上满足
罗尔定理条件.
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保号性
定理
例3. 设
在区间
上连续, 且
试证存在
使
证: 不妨设
必有
使
故
保号性
定理
必有
使
故
又在
上
连续,
由零点定理知, 存在
使
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例4.
试证存在
证: 欲证
因 f ( x ) 在[ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件,
故有
将①代入②, 化简得
故有
①
②
即要证
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