文档介绍：一、基本概念
二、多元函数微分法
三、多元函数微分法的应用
第八章多元函数微分法
推广
一元函数微分学
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
(1) 区域
邻域:
区域
连通的开集
(2) 多元函数概念
n 元函数
常用
二元函数
(图形一般为空间曲面)
三元函数
一、基本概念
1. 多元函数的定义
定义域及对应规律
解:
例1. 求
的定义域.
x
o
y
所求定义域为:

解:
则称常数A为函数
描述性定义
对于二元函数
是定义域D的聚点
对应的函数值无限接近
于一个确定的常数A,
则称A为
的极限
记为:
2. 多元函数的极限
(1)定义:
设函数
的定义域为D,
是D
的聚点.
如果对于任意给定的正数
总存在正数
使
得对于适合不等式
的一切点
都有
成立,
当
时的极限.
记为:
或
或记为
这里
(2)二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系
①不同点:
二元函数极限
的方式(路径)不同
一元函数的方式有两种,故有
的方式是任意的,有无数个.
沿任何路径时极限存在且相等
确定二元函数极限不存在的方法:
☆令P(x,y)沿y=kx趋向于
若极限值与k有关,
则可断言极限不存在;
☆找两种不同趋近方式,
使
存在,
但两者不相等,
此时也可断言f(x,y)
或有的极限不存在,
处极限不存在.
在点
②共同点:
即有定义
与有极限不能互相推出.
●定义方式相同.
故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到
多元函数中.
用定义只能证明极限.
●在点是否有定义并不影响极限是否存在,
③联系:
由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.
所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运算法则,夹逼准则;无穷小的概
念与性质,两个重要极限及求极限的变量代换法,等价
无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.
但一元函数极限的充要条件及洛比达法则不能用
于多元函数极限上.
例3. 考察函数
在原点的二重极限.
例4. 求极限
解:
其中
3. 多元函数的连续
令
记
则
设函数z=f(x,y)的定义域为D,聚点
若
则称函数z=f(x,y)在
处连续.
(1)定义:
(2)间断点:
点连续
例如, 函数
在点(0 , 0) 极限不存在,
又如, 函数
上间断.
故( 0, 0 )为其间断点.
在圆周
(3)多元初等函数:
如:
所表示的多元函数,
有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子
由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过
叫多元初等函数.