文档介绍：第九章重积分
一元函数积分学
多元函数积分学
重积分
曲线积分
曲面积分
二重积分的定义及计算
三重积分的定义及计算
重积分的应用
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一、二重积分的定义及计算
:
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
可积,
在D上的二重积分.
积分和
积分域
被积函数
积分表达式
面积元素
记作
是定义在有界闭区域 D上的有界函数,
则称
称为积分变量
2
说明:
表示一个确定的数值,
它只与
有关,
与D的分割法、
的取法、
积分变量所使
用的字母无关,
即
(1)
(2)当
在闭区域D上连续时,
定义中和式的极限
必存在,
即二重积分必存在.
(3)底为D,顶为
的曲顶柱体的体积为:
平面薄片的质量为:
3
(4)二重积分的几何意义
即
当被积函数大于零时,
当被积函数小于零时,
二重积分
二重积分是柱体的体积.
特殊地:
若在D上,
则
D的面积
是柱体的体积的负值.
?
4
则面积元素为:
D
(5)直角坐标系下的面积元素
如果在D上可积,
也常
二重积分记作:
这时
分区域D ,
因此面积元素
可用平行坐标轴的直线来划
记作:
?
5
性质1
(k为常数)
性质2
(二重积分与定积分有类似的性质)
2. 二重积分的性质
性质3
性质4
若为D的面积,
性质5
若在D上
则有
6
性质6
(二重积分中值定理)
(二重积分估值不等式)
设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值
和最小值,
为D的面积,
则
性质7
设函数f(x,y)在闭区域D上连续,
为D的面积,
则在D上至少存在一点
使得
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例1. 设D 是第二象限的一个有界闭域, 且 0 < y <1, 则
的大小顺序为( )
提示: 因 0 < y <1, 故
故在D上有:
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3. 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化
计算二重积分.
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注意:
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