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第六章 三角函数
一、根底知识
定义1 角，,那么角为正角，假设旋转方向为顺时针方向,那么角为负角，假设不旋转那么为零角。角的大小是任意倍,得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin（x+)（>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin（x+)(， 〉0)(｜A｜叫作振幅）的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx（x∈[—1, 1］），函数y=cosx（x∈[0, π]） 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[—1, 1]）。 函数y==arctanx（x∈［-∞, +∞]). y=cosx（x∈［0, π］)的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈［—∞， +∞］)。
定理15 三角方程的解集,假设a∈（-1,1），方程sinx=a的解集是｛x|x=nπ+(-1）narcsina， n∈Z}。方程cosx=a的解集是｛x|x=2kxarccosa， k∈Z｝。 假设a∈R，方程tanx=a的解集是｛x|x=kπ+arctana, k∈Z｝。恒等式：arcsina+arccosa=;arctana+arccota=.
定理16 假设,那么sinx〈x〈tanx.
二、方法和例题
1．结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg｜x｜的解的个数.
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx和y=lg｜x｜的图象(见图）,由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x∈(0, π）, 试比较cos（sinx）和sin（cosx）的大小.
【解】 假设，那么cosx≤1且cosx>-1，所以cos,
所以sin（cosx） ≤0，又0〈sinx≤1， 所以cos(sinx)〉0，
所以cos（sinx）>sin（cosx）.
假设，那么因为sinx+cosx=(sinxcos+sin
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cosx)=sin（x+)≤<，
所以0〈sinx<—cosx<，
所以cos（sinx)>cos（-cosx）=sin（cosx).
综上，当x∈(0,π）时，总有cos(sinx)〈sin（cosx).
例3 α，β为锐角，且x·（α+β—)〉0，求证：
【证明】 假设α+β〉，那么x〉0，由α〉-β>0得cosα〈cos（-β）=sinβ，
所以0〈〈1，又sinα>sin（—β)=cosβ, 所以0〈〈1，
所以
假设α+β〈，那么x<0，由0<α<—β<得cosα>cos（—β)=sinβ〉0,
所以>1。又0〈sinα<sin（—β）=cosβ，所以>1，
所以，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期确实定。
例4 求函数y=sin(2cos｜x｜）的最小正周期。
【解】 首先，T=2π是函数的周期(事实上，因为cos（—x）=cosx，所以co|x|=cosx）;其次，当且仅当x=kπ+时,y=0（因为|2cosx｜≤2<π），
所以假设最小正周期为T0，那么T0=mπ, m∈N+，又sin（2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。
4．三角最值问题.
例5 函数y=sinx+,求函数的最大值和最小值.
【解法一】 令sinx=，
那么有y=
因为，所以,
所以≤1，
所以当,即x=2kπ-（k∈Z）时,ymin=0，
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当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.
【解法二】 因为y=sinx+，
=2（因为(a+b)2≤2（a2+b2)),
且｜sinx｜≤1≤，所以0≤sinx+≤2，
所以当=sinx，即x=2kπ+（k∈Z）时， ymax=2，
当=-sinx,即x=2kπ—(k∈Z)时, ymin=0。
例6 设0<<π,求sin的最大值。
【解】因为0<<π，所以，所以sin>0, cos〉0。
所以sin（1+cos）=2sin·cos2= ≤=
当且仅当2sin2=cos2， 即tan=， =2arctan时，sin(1+cos）获得最大值。
例7 假设A,B,C为△ABC三个内角,试求sinA+sinB+sinC的最大值.
【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ①
sinC+sin