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《导数及其应用》知识点总结
一、 导数的概念和几何意义
函数的平均变化率：函数 f(x)在区间［x1, x2］上的平均变化率为： f(X2)一 f(Xl)。
X2 -X1
导数的定义：设函数 y =f(x)在区间(a,b)1
《导数及其应用》知识点总结
一、 导数的概念和几何意义
函数的平均变化率：函数 f(x)在区间［x1, x2］上的平均变化率为： f(X2)一 f(Xl)。
X2 -X1
导数的定义：设函数 y =f(x)在区间(a,b)上有定义，(a,b)，若Ax无限趋近于
0时，比值 卫 J。0 ：x)-f(x°)无限趋近于一个常数 A，则称函数f(x)在x = xo处可导，
-x =x
并称该常数A为函数f(x)在X=Xo处的导数，记作f (xo)。函数f(x)在x=xo处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。
求函数导数的基本步骤：(1) =f(Xo • .Vx) - f (Xo) ；( 2)求平均变
化率：f(Xo x) —f(Xo) ；( 3)取极限，当 \x无限趋近与0时，f(Xo x)— f(Xo)无限趋
Z Ax
近与一个常数A，贝y f (x0^A.
导数的几何意义：
函数f(x)在x=Xo处的导数就是曲线 y二f(x)在点(Xo,f(Xo))处的切线的斜率。由此， 可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
求出y = f(x)在xo处的导数，即为曲线 y = f(x)在点(xo, f (xo))处的切线的斜率；
在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y - yo =「(疝& -灯。
当点P(xo, yo)不在y =f(x)上时，求经过点 P的y = f (x)的切线方程，可设切点坐标， 由切点坐标得到切线方程， 再将P点的坐标代入确定切点。 特别地，如果曲线y = f(x)在点
(xo, f(xo))处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为 x=x°。
导数的物理意义：
质点做直线运动的位移 S是时间t的函数S(t)，则V =S(t)表示瞬时速度，a = v(t)表
示瞬时加速度。
二、 导数的运算
2
常见函数的导数：
(kx bf = k(k, b 为常数)； (2) C#o(C 为常数)；
(x) =1 ; (4) (x2) =2x ；
(5)(x3y =3x ； (6) (-X) ；
X X
3
(9)
(ax) =ax In a(a . 0,a =1)；
(10)
1
(log a x) =-loga
x
(11)
(ex) =ex ；
(12)
(ln x) J ；
(13)
(sin x) =cosx ；
(14)
(cos x) = _sin x
、差、积、商的导数：
(1)
[f(x) _g(x)]二 f (x) _g (x)；
(2)
[Cf (x)]” =Cf (x) ( C 为常数)；
(3)
[f(x)g(x)] = f (x)g(x) f (x)g (x)；
(4)
(g(x)")。
O
(7) ( x)叮％ ；
1
e (a .0,^-1)-
x