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第六章 三角函数
一、根底知识
定义1 角,,那么角为正角,假设旋转方向为顺时针方向,那么角为负角,假设不旋转那么为零角。角的大小是任意A,B,C的对边.(精品文档请下载)
定理14 图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(, 〉0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。(精品文档请下载)
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[—1, 1]),函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[—1, 1])。 函数y==arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[—∞, +∞])。(精品文档请下载)
定理15 三角方程的解集,假设a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}。 假设a∈R,方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa=;arctana+arccota=.(精品文档请下载)
定理16 假设,那么sinx〈x〈tanx.
二、方法和例题
1.结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数.
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx和y=lg|x|的图象(见图),由图象可知两者有6个交点,故方程有6个解。(精品文档请下载)
2.三角函数性质的应用。
例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)和sin(cosx)的大小.
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【解】 假设,那么cosx≤1且cosx>-1,所以cos,
所以sin(cosx) ≤0,又0〈sinx≤1, 所以cos(sinx)〉0,
所以cos(sinx)>sin(cosx).
假设,那么因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<,
所以0〈sinx<—cosx<,
所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).
综上,当x∈(0,π)时,总有cos(sinx)〈sin(cosx).
例3 α,β为锐角,且x·(α+β—)〉0,求证:
【证明】 假设α+β〉,那么x〉0,由α〉-β>0得cosα〈cos(-β)=sinβ,
所以0〈〈1,又sinα>sin(—β)=cosβ, 所以0〈〈1,
所以
假设α+β〈,那么x<0,由0<α<—β<得cosα>cos(—β)=sinβ〉0,
所以>1。又0〈sinα<sin(—β)=cosβ,所以>1,
所以,得证。
注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。
3.最小正周期确实定。
例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】 首先,T=2π是函数的周期(事实上,因为cos(—x)=cosx,所以co|x|=cosx);其次,当且仅当x=kπ+时,y=0(因为|2cosx|≤2<π),(精品文档请下载)
所以假设最小正周期为T0,那么T0=mπ, m∈N+,又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ),所以T0=2π。(精品文档请下载)
4.三角最值问题.
例5 函数y=sinx+,求函数的最大值和最小值.
【解法一】 令sinx=,
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那么有y=
因为,所以,
所以≤1,
所以当,即x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=0,
当,即x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=2.
【解法二】 因为y=sinx+,
=2(因为(a+b)2≤2(a2+b2)),
且|sinx|≤1≤,所以0≤sinx+≤2,
所以当=sinx,即x=2kπ+(k∈Z)时, ymax=2,
当=-sinx,即x=2kπ—(k∈Z)时, ymin=0。
例6 设0<<π,求sin的最大值。
【解】因为