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高等数学B上册 求极限方法总结正文
第一篇：高等数学B上册 求极限方法总结
锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
出自----荀子----《劝学》
求极限的几种常用方法
1．约去零因子求极限
例1：求极限l可以互换顺序。
x®x0
èx®x0øæ1ö例9：求limlnç1+÷
x®¥
èxøæ1ö
8
【解】令y=lnu,u=ç1+÷
èxø
æ1ö
因为lnu在点u0=limç1+÷=e处连续
x®¥
èxøæ1ö
所以limlnç1+÷
x®¥
èxø
x
xx
x
éæ1öxù
=lnêlimç1+÷ú
x®¥êëèxøúû
=lne
=1
8．用洛必达法则求极限
9
洛必达法则只能对
0¥
或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，0¥
f'(x)f(x)等于A时，那么lim存g'xgx然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在lim
在且等于A。如果lim
f'(x)f(x)不存在时，并不能断定lim也不存在，这是不能用洛必达
g'xgxf(x)。
gx法则的，而须用其他方法讨论lim
lncos2x-ln1+sin2x
例10：求极限lim
x®0x2lncos2x-ln1+sin2x
【解】lim 2x®0x
()
()
-2sin2xsin2x
10
-2
=limx®02x
=lim=3
sin2xæ-21ö
-ç÷¥ 2x®02xècos2x1+sinxø
(x)g(x)极限
例11：求极限lim[1+ln(1+x)
x®0
2x
【解】lim[1+ln(1+x)=lime
x®0
x®0
¥
2x2
ln[1+ln(1+x)]x
=e
x®0
lim
12
2ln[1+ln(1+x)]
x
=e
x®0
lim
2ln(1+x)x
=e2
【注】对于1型未定义式，也可以用公式limf(x)因为
limf(x)
g(x)
g(x)
(1)=e
¥
lim(f(x)-1)g(x)
=elimg(x)ln(1+f(x)-1)=elim(f(x)-1)g(x)
（1）夹逼准则：若一正数N。当n>N时，有xn£yn£zn且limxn=limzn=a，则有
12
x®¥
x®¥
limyn=a.
x®¥
利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{yn}和{zn}，使得yn£xn£zn。 例12：xn=
1n+1
+
1n+2
+......
1n+n
求xn的极限。
【解】因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项xn³
1n+n1n+1
22
+
13
1n+n1n+1
22
+......+
1n+n1n+1
22
=
nn+nnn+1
22
xn£
++......+=
nn+n
n
£xn£
nn+1n
又因为lim
x®¥
n+n
=lim
14
x®¥
n+1
=1
所以limxn=1
x®¥
（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的 通项递推公式求极限。
例，证明下列极限存在，并求其极限。y1=
a,y2=a+a,y3=a+a+a,......,yn=a+a+a+...+a
证明：从这个数列看yn显然是增加的。用归纳法可证。又因为y2=
a+y1,y3=a+y2,......,yn=a+yn-1
所以得yn=a+yn-。两端除以yn得yn<
a+1 yn
因为yn³y1=
a,则
16
aa
£a，从而+1£a+1 ynyn
a£yn£a+1
即yn是有界的。根据定理yn有极限且极限唯一。
令limyn=l则limy=lim(yn-1+a)
n®¥n®¥n®¥
则l=l+a，因为yn>=
1+4a+1
所以limyn=l=
n®¥
1+4a+1
本文对极限的求法作了一下小结归纳了几种求极限的基本方法。对一般的极限用上面的方法可以求出来，复杂一点的可能要综合几种方法才能求出，关键是“运用之妙，存孚一心”。
第二篇：高等数学微积分求极限